A 組·素養(yǎng)自測(cè)
一、選擇題
1．(2023·上海期中)下列式子中，不能化簡(jiǎn)為eq \(PQ,\s\up6(→))的是( B )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))) B．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AQ,\s\up6(→))
C．eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)) D．eq \(BQ,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))
[解析] A項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
B項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(QP,\s\up6(→))；
C項(xiàng)，eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))＝eq \(QC,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
D項(xiàng)，eq \(BQ,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→)).
故選B．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( C )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
B．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))
D．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0
[解析] A項(xiàng)顯然正確，由平行四邊形法則知B正確；C項(xiàng)中eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)中eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，故選C．
3.如圖，D，E，F(xiàn)是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝( D )
A．eq \(FD,\s\up6(→)) B．eq \(FC,\s\up6(→))
C．eq \(FE,\s\up6(→)) D．eq \(BE,\s\up6(→))
[解析] 由圖可知，eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→)).
4．八卦是中國(guó)古老文化的深?yuàn)W概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝( B )
A．eq \(OD,\s\up6(→)) B．eq \(DO,\s\up6(→))
C．eq \(DA,\s\up6(→)) D．eq \(AD,\s\up6(→))
[解析] eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→)).
5．(多選題)化簡(jiǎn)以下各式，結(jié)果為零向量的是( ABC )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)) B．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
C．eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)) D．eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))
[解析] A項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0；
B項(xiàng)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0；
C項(xiàng)，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝0；
D項(xiàng)，eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))≠0.
二、填空題
6．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝d，則d－a＝ c ，d＋a＝ b .
[解析] 由題意得d－a＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝c，
d＋a＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
7．若非零向量a與b互為相反向量，給出下列結(jié)論：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|(zhì)b|；④b＝－a.其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)①②④__.
[解析] 非零向量a、b互為相反向量時(shí)，模一定相等，因此③不正確．
8．如圖所示，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和四邊形AOBE均為平行四邊形，
則：(1)與向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有 eq \(OC,\s\up6(→)) ；
(2)與向量eq \(OA,\s\up6(→))相反的向量有 eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→)) ；
(3)與向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)) .(填圖中所畫(huà)出的向量)
[解析] 因?yàn)镺是正三角形ABC的中心，所以O(shè)A＝OB＝OC．
因?yàn)樗倪呅蜛OCD為平行四邊形，所以AD∥OC，且AD＝OC．
根據(jù)圖形可知，與向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq \(OC,\s\up6(→))；
由已知可得，OA∥CD，且OA＝CD，OA∥BE且OA＝BE.
所以，與向量eq \(OA,\s\up6(→))相反的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))；
因?yàn)镺A＝CD＝BE，OA＝OB＝OC，
所以與向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
故答案為eq \(OC,\s\up6(→))；eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))；eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
三、解答題
9．化簡(jiǎn)下列各式：
(1)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))．
[解析] (1)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→)).
(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋0＝eq \(AD,\s\up6(→)).
10.如圖，已知向量a、b、c、d、e.
(1)用a、d、e表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(2)用b、c表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(3)用a、b、e表示eq \(EC,\s\up6(→))；
(4)用c、d表示eq \(EC,\s\up6(→)).
[解析] (1)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a.
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝－b－c.
(3)eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝e＋a＋b.
(4)eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－c－d.
B 組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．下列各式結(jié)果是eq \(AB,\s\up6(→))的是( B )
A．eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)) B．eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)) D．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
[解析] eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
2．在平行四邊形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，則必有( C )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq \(AD,\s\up6(→))＝0或eq \(AB,\s\up6(→))＝0
C．?ABCD為矩形 D．?ABCD為正方形
[解析] 因?yàn)樵?ABCD中，顯然|eq \(AD,\s\up6(→))|≠0，|eq \(AB,\s\up6(→))|≠0，則eq \(AD,\s\up6(→))≠0，eq \(AB,\s\up6(→))≠0，故A、B錯(cuò)誤；
因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，則|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，
即平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)相等，故?ABCD為矩形，故C正確；
因?yàn)闆](méi)有確定|eq \(AD,\s\up6(→))|，|eq \(AB,\s\up6(→))|是否相等，故無(wú)法確定?ABCD是否為正方形，故D錯(cuò)誤．
故選C．
3．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則( A )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0 B．eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝0
C．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＝0 D．eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(FC,\s\up6(→))＝0
二、填空題
4．已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))滿(mǎn)足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)平行四邊形__.
[解析] ∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
∴|eq \(DA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
5．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，則|a－b|＝_5或9__.
[解析] 當(dāng)a與b方向相同時(shí)，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；
當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.
三、解答題
6．已知點(diǎn)B是?ACDE內(nèi)一點(diǎn)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，試用a、b、c表示向量eq \(CD,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(BE,\s\up6(→))、eq \(CE,\s\up6(→))及eq \(BD,\s\up6(→)).
[解析] ∵四邊形ACDE為平行四邊形．
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a；
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a；
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝c－b；
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
C 組·探索創(chuàng)新
如圖，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OF,\s\up6(→))＝f，試用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)eq \(AD,\s\up6(→))；
(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))；
(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))；
(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)).
[解析] (1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝c－a.
(2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝－a＋d.
(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝d－b.
(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＝b－a－c＋f.
(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝f－b－d＋b＝f－d.

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6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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