A 組·素養(yǎng)自測(cè)
一、選擇題
1．在銳角△ABC中，關(guān)于向量夾角的說(shuō)法，正確的是( B )
A．eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))的夾角是銳角
B．eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))的夾角是銳角
C．eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))的夾角是鈍角
D．eq \(AC,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))的夾角是銳角
2．已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2eq \r(3)，a與b的夾角是120°，則a ·b等于( B )
A．3 B．－3
C．－3eq \r(3) D．3eq \r(3)
3．如圖所示，一力作用在小車(chē)上，其中力F的大小為20 N，方向與水平面成60°角．則當(dāng)小車(chē)向前運(yùn)動(dòng)5 m時(shí)，力F做的功為( B )
A．100 J B．50 J
C．50eq \r(3) J D．200 J
[解析] F做的功W＝|F|cs θ×5＝20×eq \f(1,2)×5＝50 J.
4．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量為eq \f(1,2)b，則a·b的值為( B )
A．3 B．eq \f(9,2)
C．2 D．eq \f(1,2)
[解析] 設(shè)a與b的夾角為θ，
∵|a|·cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，∴|a|·cs θeq \f(1,|b|)＝eq \f(1,2)，
∴|a|·cs θ＝eq \f(3,2)，
∴a·b＝|a||b|cs θ＝3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
5．在四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是( C )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
[解析] 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，可知AB⊥BC，又BC＝AD，所以四邊形ABCD為矩形．
二、填空題
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影向量為 eq \f(12,25)b .
[解析] 設(shè)a與b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cs θ＝12，
又|b|＝5，∴|a|cs θ＝eq \f(12,5)，eq \f(b,|b|)＝eq \f(b,5)，
即向量a在向量b上的投影向量為eq \f(12,25)b.
7．已知向量a，b均為單位向量，a·b＝eq \f(\r(2),2)，則a與b的夾角為 eq \f(π,4) .
8．若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則|γ|＝_1__.
[解析] 設(shè)向量a與向量b的夾角為θ，與b方向相同的單位向量為e，則a在b方向上的投影向量γ＝|a|cs θ·e，則|γ|＝||a|cs θ|＝|2×cs 120°|＝1.
三、解答題
9．已知|a|＝5，|b|＝4.
(1)若a與b的夾角θ＝120°.
①求a·b；
②求向量a在向量b上的投影向量．
(2)若a∥b，求a·b.
[解析] (1)①a·b＝|a||b|cs θ＝5×4×cs 120°＝－10.
②向量a在向量b上的投影向量為|a|·cs θeq \f(b,|b|)＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(b,4)＝－eq \f(5,8)b.
(2)∵a∥b，∴a與b的夾角θ＝0°或180°.
當(dāng)θ＝0°時(shí)，a·b＝|a||b|cs 0°＝20.
當(dāng)θ＝180°時(shí)，a·b＝|a||b|cs 180°＝－20.
10．已知在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.
(1)試用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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