第六章　6.2　6.2.3A　組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．點C在直線AB上，且＝3，則等于(　D　)A．－2 B．C．－ D．2[解析]　＝－＝3－＝2．2．(多選題)下列說法中錯誤的是(　ABC　)A．λa與a的方向不是相同就是相反B．若a，b共線，則b＝λaC．若|b|＝2|a|，則b＝±2aD．若b＝±2a，則|b|＝2|a|[解析]　對于A，λ＝0時，結論不成立；對于B，a≠0時，結論成立；對于C，|b|＝2|a|時，b與a不一定共線；對于D，利用平面向量共線定理可知正確．3．已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上(不包括端點A、C)，則＝(　A　)A．λ(＋)　λ∈(0，1) B．λ(＋)　λ∈C．λ(－)　λ∈(0，1) D．λ(－)　λ∈[解析]　設P是對角線AC上的一點(不含A、C)，過P分別作BC、AB的平行線，設＝λ，則λ∈(0，1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0，1)．4．如圖，向量，，a的起點與終點均在正方形網格的格點上，若a＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　D　)A．－4 B．－2C．2 D．4[解析]　由圖象可知a＝＋3，λ＝1，μ＝3，λ＋μ＝4．故選D．5．(2022·新高考Ⅰ卷) 在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記＝m，＝n，則＝(　B　)A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n[解析]　因為點D在邊AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故選B．二、填空題6．已知＝－則使得＝λ的實數λ＝__－2__．[解析]　＝－，則A在線段BC上，且AC＝2AB，所以＝－2，又＝λ，所以λ＝－2．故答案為－2．7．已知e1，e2是兩個不共線的向量，而a＝k2e1＋e2與b＝2e1＋3e2是兩個共線向量，則實數k＝__－2或__．[解析]　由題設知＝，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或．8．設D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為____．[解析]　由已知＝－＝－＝(－)＋＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，從而λ1＋λ2＝．三、解答題9．已知兩個非零向量e1、e2不共線，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求證：A、B、D三點共線．[解析]　∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴∥．又∵AD和AB有公共點A，∴A、B、D三點共線．10．計算：(1)－2；(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．[解析]　(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c．B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．設a是非零向量，λ是非零實數，下列結論正確的是(　C　)A．a與－λa的方向相反  B．|－λa|≥|a|C．a與λ2a的方向相同  D．|－λa|＝|λ|a[解析]　A錯誤，因為λ取負數時，a與－λa的方向是相同的；B錯誤，因為當|λ|＜1時，該式不成立；D錯誤，等號左邊的結果是一個數，而右邊的結果是一個向量，不可能相等；C正確，因為λ2(λ≠0)一定是正數，故a與λ2a的方向相同．故選C．2．如圖，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的四等分點，則＝(　D　)A．＋ B．＋C．＋ D．＋[解析]　由題意可得＝＋，＝，＝＋，＝，∴＝＋(＋)＝＋．3．已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，能使a，b共線的條件是(　AB　)A．2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3eB．存在相異實數λ，μ，使得λa＋μb＝0C．xa＋yb＝0(其中x，y滿足x＋y＝0)D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b[解析]　由A中條件的b＝10a，故a，b共線，由B中條件的b＝－a，故a，b共線，CD中條件不能推出a，b共線，故選AB．4．O為平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個動點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的(　B　)A．外心 B．內心  C．重心 D．垂心[解析]　由＝＋λ，則－＝λ，則＝λ．而是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，以這兩個單位向量為鄰邊作平行四邊形AB1P1C1，易得平行四邊形AB1P1C1是菱形，對角線AP1平分∠B1AC1，且＝，＝，所以＋＝＋＝，則＝λ．由λ∈[0，＋∞)，可知點P在∠BAC的平分線上，即動點P的軌跡經過△ABC的內心．二、填空題5．已知向量a，b不共線，實數x，y滿足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，則x＝__3__；y＝__－4__．[解析]　因為a與b不共線，根據向量相等得解得6．設點O在△ABC的內部，點D，E分別為邊AC，BC的中點，且|＋2|＝1，則|＋2＋3|＝__2__．[解析]　如題圖所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2．三、解答題7．如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，延長CD到M使DM＝CD，延長BE至N使BE＝EN，求證：M，A，N三點共線．[解析]　因為D為MC的中點，且D為AB的中點，所以四邊形ACBM是平行四邊形，所以＝＋．所以＝－＝．同理可證明＝－＝．所以＝－．所以，共線，又與有公共點A．所以M，A，N三點共線．8．在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，且＝t，求t的值．[解析]　∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－．∴2＝，即P為AB的一個三等分點(靠近點A)，如圖所示．∵A，M，Q三點共線，∴設＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，又＝－，∴＝＋．又＝－＝－，且＝t，∴＋＝t．∴解得t＝． 

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6.2 平面向量的運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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