?第八章　8.6　8.6.3　第1課時(shí)

A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．已知直線(xiàn)a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β
【答案】D　
【解析】由a∥α，知α內(nèi)必有直線(xiàn)l與a平行．而a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β．
2．有下列說(shuō)法：
①兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線(xiàn)所成的角；
③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系．
其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A　
【解析】根據(jù)二面角的定義知①②③都不正確．
3．閱讀下面的題目及其證明過(guò)程，在橫線(xiàn)處應(yīng)填寫(xiě)的正確結(jié)論是(　　)
如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面BDE．

證明：因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因?yàn)锳C⊥BD，且AC∩PO＝O，所以________．又因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．
A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBD
C．BD⊥平面PAC D．AC⊥平面BDE
【答案】C　
【解析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可知橫線(xiàn)處應(yīng)填“BD⊥平面PAC”．故選C．
4．如果直線(xiàn)l，m與平面α，β，γ滿(mǎn)足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
【答案】A　
【解析】A正確．B錯(cuò)，有可能m與β相交；C錯(cuò)，有可能m與β相交；D錯(cuò)，有可能α與β相交．故選A．
5．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為(　　)

A．60° B．30°
C．45° D．15°
【答案】C　
【解析】由條件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°．故選C．
6．(多選)如圖，在三棱錐P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是(　　)

A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直線(xiàn)EF與直線(xiàn)PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角
【答案】ABC　
【解析】A正確，∵GF∥PC，GE∥CB，∴GE∥面PBC，GF∥面PBC，GF∩GE＝G，∴平面EFG∥平面PBC；B正確，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正確，易知EF∥BP，∴∠BPC是直線(xiàn)EF與直線(xiàn)PC所成的角；D錯(cuò)誤，∵GE與AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角．
7．如圖，二面角α－l－β的大小是60°，線(xiàn)段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是(　　)

A． B．
C． D．
【答案】C　
【解析】如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l．設(shè)AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ，由圖得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．

8．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小為_(kāi)_______．
【答案】90°　
【解析】取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OP(圖略)，則∠POA為二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°．
9．在平面幾何中，有真命題：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．某同學(xué)將此結(jié)論類(lèi)比到立體幾何中，得一結(jié)論：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)．
你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論________．(填“正確”或“錯(cuò)誤”)
【答案】錯(cuò)誤　
【解析】如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A－C1D1－C為45°，二面角A－BC－C1為90°．則這兩個(gè)二面角既不相等又不互補(bǔ)．

10．如圖，在圓錐PO中，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．求證：平面POD⊥平面PAC．

證明：如圖，連接OC，CB．因?yàn)镺A＝OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD．又因?yàn)镻O⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO．因?yàn)镺D∩PO＝O，所以AC⊥平面POD．

又因?yàn)锳C?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．
B級(jí)——能力提升練
11．(多選)如圖，四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論成立的是(　　)

A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
【答案】ACD　
【解析】如圖，在A中，取PB中點(diǎn)O，連接AO，CO，則AO⊥PB，CO⊥PB，∴PB⊥平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，設(shè)AC∩BD＝M，連接PM，易知PA＝PC，則PM⊥AC，∴PD與AC不垂直，∴PD與平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，易知PB⊥平面AOC，∴PB⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC?平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．

12．如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的平面角的余弦值為(　　)

A． B．
C． D．
【答案】A　
【解析】在菱形ABCD中，連接BD交AC于O點(diǎn)，則AC⊥BD．在折起后的圖中，由四邊形ABCD為菱形且邊長(zhǎng)為1，則DO＝OB＝．因?yàn)镈O⊥AC，BO⊥AC，所以∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角．由BD＝1，得cos∠DOB＝＝＝．

13．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小為_(kāi)_______；二面角A′－AB－D的大小為_(kāi)_______．

【答案】45°　90°　
【解析】在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角，在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小為45°．因?yàn)锳B⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD為二面角A′－AB－D的平面角，又因?yàn)椤螦′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小為90°．
14．如圖，一張矩形白紙的長(zhǎng)、寬分別為2a,2a，且A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，得到一個(gè)多面體．下列關(guān)于該多面體的命題，正確的是________．(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

①該多面體是三棱錐；
②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD．
【答案】①②③　
【解析】由題意得該多面體是一個(gè)三棱錐，故①正確；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP?平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正確；同理可證平面BAC⊥平面ACD，故③正確．綜上，正確命題的序號(hào)為①②③．
15．如圖，在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC＝8．現(xiàn)沿對(duì)角線(xiàn)BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為．
(1)求證：平面ABD⊥平面CBD；
(2)若M是AB的中點(diǎn)，求三棱錐A－MCD的體積．

【答案】(1)證明：如圖，在菱形ABCD中，記AC，BD的交點(diǎn)為O，由已知可知AD＝5，OA＝4，∴OD＝3．翻折后，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32．
在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
又∵AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD．
又∵AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．

(2)解：∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B到平面MCD的距離相等．
∴VA－MCD＝VB－MCD＝VA－BCD＝S△BCD·AO＝8．

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8.6 空間直線(xiàn)、平面的垂直

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