第七章測評 (時間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2021浙江麗水期末)復數(2-i)i的虛部為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.1 C.2 D.2i 答案C 解析復數(2-i)i=1+2i,故它的虛部為2. 2.(2021新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,則z(z+i)=(　　) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 答案C 解析∵z=2-i,∴z=2+i.∴z+i=2+2i.∴z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故選C. 3.(2021全國乙卷)設2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z= (　　) A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 答案C 解析設z=x+yi(x,y∈R),則z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i. 4.(2021廣東天河期末)復平面內的平行四邊形OABC的頂點A和C(O是坐標原點)對應的復數分別為4+2i和-2+6i,則點B對應的復數為(　　) A.2+6i B.2+8i C.6+2i D.8+2i 答案B 解析∵OB=OA+OC,∴點B對應的復數為4+2i+(-2+6i)=2+8i.故選B. 5.(2021湖北黃陂校級模擬)若|z-1|=|z+1|,則復數z在復平面內對應的點在(　　) A.實軸上 B.虛軸上 C.第一象限 D.第二象限 答案B 解析由于|z-1|=|z+1|,故復數z在復平面內對應的點到(-1,0)的距離等于它到(1,0)的距離,故復數z對應的點在虛軸上.故選B. 6.(2021福建倉山校級期中)已知復數z滿足|z-i|=1,則|z-3-5i|的最大值是(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 答案C 解析設z=a+bi(a,b∈R),∵|z-i|=1,∴|z-3-5i|的最大值即為圓a2+(b-1)2=1的圓心(0,1)與點(3,5)的距離加半徑1,即為(0-3)2+(1-5)2+1=5+1=6,故|z-3-5i|的最大值是6.故選C. 7.復數z滿足z1+i2=z(2-i),則|z|=(　　) A.1 B.1或32 C.25 D.0或25 答案D 解析∵z1+i2=|z|2(2)2=|z|22=z(2-i),∴|z|22=|z|·|2-i|=5·|z|,則|z|2=25|z|,解得|z|=0或|z|=25.故選D. 8.(2021吉林白城期末)已知z的共軛復數z=1+3i,且z1-i-z0=|z-i|,則|z0|的最大值為(　　) A.5+17 B.17-5 C.217 D.25 答案A 解析∵z=1+3i,∴z=1-3i,則z-i=1-4i,z1-i=(1-3i)(1+i)2=2-i,∴|z0-(2-i)|=17.設z0=x+yi(x,y∈R),則點P(x,y)的集合是以(2,-1)為圓心,17為半徑的圓,故|z0|=x2+y2的最大值為5+17.故選A. 二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分. 9.(2021重慶期末)若復數z1=2+3i,z2=1-i,則下列說法正確的是(　　) A.z1在復平面內對應的點位于第四象限 B.若z1+a(a∈R)是純虛數,那么a=-2 C.z1z2=-1+i D.若z1,z2在復平面內對應的向量分別為OA,OB(O為坐標原點),則|AB|=17 答案ABD 解析z1=2-3i在復平面內對應的點為(2,-3),位于第四象限,故A正確;∵z1+a=2+3i+a是純虛數,∴a+2=0,解得a=-2,故B正確;z1z2=(2+3i)(1-i)=5+i,故C錯誤;|AB|=|z2-z1|=|1-i-(2+3i)|=(-1)2+(-4)2=17,故D正確.故選ABD. 10.(2021福建福州期中)已知復數z滿足z=-1+i2 021,則下列關于復數z的結論正確的是(　　) A.|z|=2 B.復平面內表示復數z的點位于第二象限 C.復數z是方程x2+2x+2=0的一個根 D.復平面內表示復數z的點與表示復數z1=1+2i的點之間的距離為13 答案ABC 解析∵i2 021=i·i2 020=i,∴z=-1+i2 021=-1+i,|z|=(-1)2+12=2,故A正確;復平面內表示復數z的點為(-1,1),位于第二象限,故B正確;∵(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,∴復數z是方程x2+2x+2=0的一個根,故C正確;∵|z-z1|=|-1+i-1-2i|=|-2-i|=5,故復平面內表示復數z的點與表示復數z1=1+2i的點之間的距離為5,故D錯誤.故選ABC. 11.(2021福建倉山校級期中)已知z1,z2是復數,則下列結論正確的是(　　) A.若z12+z22>0,則z12>-z22 B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2 C.|z12|=|z1|2 D.非零復數z3,滿足z1z3=z2z3,則z1=z2 答案CD 解析對于A,設z1=2-i,z2=2+i,則z12=3-4i,z22=3+4i,滿足z12+z22>0,但不能比較大小,故A錯誤;對于B,設z1=2-i,z2=2+i,則|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B錯誤;對于C,設z1=a+bi(a,b∈R),則z12=a2-b2+2abi,|z12|=(a2-b2)2+4a2b2=(a2+b2)2=a2+b2,z1=a-bi,|z1|=a2+b2,則|z1|2=a2+b2,故C正確;對于D,因為z1z3=z2z3,且z3是非零復數,所以兩邊同時除以z3得z1=z2,故D正確.故選CD. 12.(2021江蘇揚州期末)已知實數x,a,b和虛數單位i,定義:復數z0=cos x+isin x為單位復數,復數z1=a+bi為伴隨復數,復數z=z0z1=f(x)+g(x)i為目標復數,目標復數的實部f(x)和虛部g(x)分別為實部函數f(x)和虛部函數g(x),則下列說法正確的有(　　) A.f(x)=acos x-bsin x B.g(x)=asin x-bcos x C.若f(x)=2sinπ3-x,則a=3,b=-1 D.若a=3,b=-1且g(x)=65,則銳角x的正弦值sin x=33+410 答案AD 解析因為z=z0z1=f(x)+g(x)i=(acos x-bsin x)+(asin x+bcos x)i,所以f(x)=acos x-bsin x,g(x)=asin x+bcos x,故A正確,B錯誤;因為f(x)=2sinπ3-x=3cos x-sin x,所以a=3,b=1,故C錯誤;因為g(x)=asin x+bcos x=3sin x-cos x=2sinx-π6=65,所以sinx-π6=35,又因為x為銳角,則x-π6∈-π6,π3,所以cosx-π6=1-sin2(x-π6)=45,故sin x=sinx-π6+π6=sinx-π6cosπ6+cosx-π6sinπ6=33+410,故D正確.故選AD. 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.(2021四川遂寧模擬)復數z=1-i(其中i為虛數單位),則|z+3i|=　　　　.? 答案5 解析∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i, 則|z+3i|=|1+2i|=12+22=5. 14.(2021上海虹口校級期末)在復平面內,復數6-5i,-2+3i對應的點分別為A,B,若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是　　　　.? 答案2-i 解析∵復數6-5i,-2+3i在復平面內對應的點分別為A,B,∴A(6,-5),B(-2,3). ∵C為線段AB的中點,∴C(2,-1), ∴點C對應的復數是2-i. 15.(2021上海奉賢期末)如果1-2i是關于x的實系數方程x2+px+q=0的一個根,其中i是虛數單位,則pq=　　　　.? 答案-10 解析1-2i是關于x的實系數方程x2+px+q=0的一個根,則1+2i也是方程的根, 所以-p=(1-2i)+(1+2i),q=(1-2i)(1+2i),解得p=-2,q=5,所以pq=-10. 16.復平面上兩個點Z1,Z2分別對應兩個復數z1,z2,它們滿足下列兩個條件:①OZ1⊥OZ2且z2=z1·2i;②兩點Z1,Z2連線的中點對應的復數為3+4i,則△Z1OZ2的面積為　　　　.? 答案20 解析設z1=a+bi(a,b∈R),則z2=z1·2i=(a+bi)·2i=-2b+2ai,∴Z1(a,b),Z2(-2b,2a). 又兩點Z1,Z2連線的中點對應的復數為3+4i, ∴a-2b2=3,2a+b2=4, 解得a=225,b=-45.∴|OZ1|=(225)?2+(-45)?2=25, |OZ2|=(85)?2+(445)?2=45. 又OZ1⊥OZ2,∴△Z1OZ2的面積為S=12×25×45=20. 四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(10分)(2021江蘇江陰校級月考)已知復數z=m-3m+3+(m2-2m-15)i(i是虛數單位). (1)若復數z是純虛數,求實數m的值; (2)若z在復平面上對應的點位于第四象限,求實數m的取值范圍. 解(1)復數z是純虛數,則m-3m+3=0且m2-2m-15≠0,解得m=3. (2)z在復平面上對應的點位于第四象限,則m-3m+3>0且m2-2m-15

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