第八章 立體幾何初步單元測(cè)試（基礎(chǔ)卷） 一、單選題1．一個(gè)球的表面積為，則這個(gè)球的半徑為（    ）A．6 B．12 C． D．【答案】A【分析】結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，設(shè)球的半徑為R，則，解得.故選：A2．已知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點(diǎn)”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由直線與沒有公共點(diǎn)表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.【詳解】“直線與沒有公共點(diǎn)”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件.故選：B3．將一個(gè)半圓沿它的一條半徑剪成一個(gè)小扇形和一個(gè)大扇形，其中小扇形的圓心角為，則小扇形圍成的圓錐的高與大扇形圍成的圓錐的高之比為（    ）A．21 B． C．41 D．【答案】B【分析】設(shè)半圓的半徑為1，根據(jù)兩個(gè)扇形的圓心角計(jì)算出兩個(gè)圓錐的底面圓半徑，再利用勾股定理求出兩個(gè)圓錐的高，即可求解.【詳解】不妨設(shè)半圓的半徑為1，用圓心角為的扇形圍成的圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，設(shè)其底面圓的半徑為，則，所以，該圓錐的高；用圓心角為的扇形圍成的圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，設(shè)其底面圓的半徑為，則，所以，該圓錐的高，所以所求高的比為，故選：.4．如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則其原圖形的面積為（    ）A．1 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原圖形，結(jié)合圖形可解.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原得下圖，因?yàn)?/span>，所以所以原圖形的面積故選：C5．一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，根據(jù)題中條件，得到內(nèi)接圓柱的高，由圓柱的側(cè)面積公式，表示出側(cè)面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】圓錐的底面半徑為2，高為4，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則它的上底面截圓錐得小圓錐的高為，因此，內(nèi)接圓柱的高；圓柱的側(cè)面積為，令，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，即圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.故選：D.6．圓柱的母線長(zhǎng)為1，圓柱的側(cè)面積為，四邊形是圓柱的軸截面，若是下底面圓的內(nèi)接正三角形，且與交于點(diǎn)G，則與所成角的正切值為（    ）A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】由，可得即為與所成的角或補(bǔ)角，求得的長(zhǎng)度即可得解.【詳解】解：因?yàn)樗倪呅?/span>是圓柱的軸截面，所以四邊形是矩形，，所以即為與所成的角或補(bǔ)角，因?yàn)閳A柱的母線長(zhǎng)為1，圓柱的側(cè)面積為，所以底面圓的半徑，，，又因?yàn)?/span>是下底面圓的內(nèi)接正三角形，所以，所以，所以，即與所成角的正切值為3.故選：A.7．生活中有很多球缺狀的建筑．一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中R為球的半徑，H為球缺的高．現(xiàn)有一個(gè)球被一平面所截形成兩個(gè)球缺，若兩個(gè)球冠的面積之比為，則這兩個(gè)球缺的體積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，由球冠面積比可得，與的關(guān)系，再把球缺體積用含有的代數(shù)式表示，則答案可求．【詳解】設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，由題意可得，，則，，即，，小球缺的體積；大球缺的體積．小球缺與大球缺的體積比為．故選：C．8．已知三棱錐，在底面中，，，面，，則此三棱錐的外接球的表面積為（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理求出的外接圓半徑為1，結(jié)合面，求出外接球半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為R，因?yàn)?/span>，，由正弦定理得：，所以的外接圓半徑為1，設(shè)球心O在的投影為D，則DA=1，因?yàn)?/span>面，，故，由勾股定理得：，即此三棱錐的外接球的半徑為2，故外接球表面積為.故選：D 二、多選題9．下列條件中能推出的有（    ）A．直線l與平面內(nèi)一個(gè)三角形的兩邊垂直 B．直線l與平面內(nèi)一個(gè)梯形的兩邊垂直C．直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直 D．直線l與平面內(nèi)任意一條直線垂直【答案】AD【分析】由線面垂直的判定定理判斷【詳解】由線面垂直的判定定理知AD正確，對(duì)于B，當(dāng)梯形的兩邊平行時(shí)，不能推出，對(duì)于C，當(dāng)無(wú)數(shù)條直線相互平行時(shí)，不能推出，故選：AD10．如圖，是水平放置的的直觀圖，，則在原平面圖形中，有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】將直觀圖還原為原平面圖形即可求解.【詳解】解：在直觀圖中，過作于， ，又，所以，，，所以利用斜二測(cè)畫法將直觀圖還原為原平面圖形，如圖，故選項(xiàng)B正確；又，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11．兩平行平面截半徑為的球，若截面面積分別為和，則這兩個(gè)平面間的距離是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對(duì)兩個(gè)平行平面在球心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，計(jì)算出球心到兩截面的距離，進(jìn)而可求得兩平面間的距離.【詳解】如圖（1）所示，若兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，則；如圖（2）所示，若兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè)，則.故選：AD.【點(diǎn)睛】用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)“與底面全等或相似”，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面“軸截面”的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組，進(jìn)而得解.12．六氟化疏，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色?無(wú)臭?無(wú)毒?不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為a（不計(jì)氟原子的大小），則（    ）A．直線與為異面直線 B．平面平面C．直線與為異面直線 D．八面體外接球體積為【答案】BCD【分析】連接與，設(shè)，連接，依題意可得必過點(diǎn)，即可判斷A、C，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷B，再由線段的長(zhǎng)度可得即為外接球的球心，外接球的半徑，根據(jù)球的體積公式計(jì)算可判斷D；【詳解】解：連接與，設(shè)，則為正方形的中心，連接，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知必過點(diǎn)，即，所以、、、四點(diǎn)共面，所以、共面，故A錯(cuò)誤，顯然、、、四點(diǎn)不共面，故直線與為異面直線，即C正確；因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，依題意，所以，所以，即為等腰直角三角形，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，故B正確；顯然，則即為外接球的球心，外接球的半徑，所以外接球的體積，故D正確；故選：BCD 三、填空題13．不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線的位置關(guān)系是_________【答案】異面【分析】根據(jù)異面直線的定義，直接判斷.【詳解】不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線的位置關(guān)系是異面.故答案為：異面14．已知三個(gè)互不重合的平面，，，且直線m、n不重合，由下列三個(gè)條件：①，；②，；③，．能推得的條件是________．【答案】①③【分析】利用空間中直線與平面的位置關(guān)系，作圖分析即可求解【詳解】對(duì)于①，成立，證明如下：證明如下： ，，，，，又，；對(duì)于②，；③，，不成立，如圖此時(shí)和是異面；對(duì)于③，，成立，證明如下：證明如下：，，，或，假設(shè)，則，，又，，這與相矛盾，因此不成立，故．故答案為：①③.15．已知三棱錐的一條棱長(zhǎng)為，其余棱長(zhǎng)均為．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為______．【答案】【分析】首先分析線面間的關(guān)系，得到平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，得到此時(shí)，接著確定球心的位置，根據(jù)勾股定理及線面間的關(guān)系，最后獲得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】解：由題意畫出三棱錐的圖形，其中，.取，的中點(diǎn)分別為，，可知，，且，∴平面，∴平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí).設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，由球體的對(duì)稱性知，球心在線段上，∴，又，設(shè)，在三角形中：，在三角形中：∴，解得.∴球的半徑滿足，∴三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.16．長(zhǎng)方體中，和的公垂線段是______，和的公垂線段是______．【答案】     ##     ##【分析】利用公垂線的定義可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在長(zhǎng)方體中，，，故和的公垂線段是，平面，平面，，又因?yàn)?/span>，則和的公垂線段是.故答案為：；. 四、解答題17．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面．(2)若平面ABC，，求證：平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析. 【分析】(1)連接，交于點(diǎn)，連接，用中位線證明即可；(2)證明CD⊥AB，CD⊥即可.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接∵是三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，∴是的中點(diǎn).∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，又平面，平面，∴∥平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，，∴，∵，平面，∴平面.18．如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：（1）EH∥平面BCD；（2）BD∥平面EFGH.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）推導(dǎo)出EH∥BD，由此能證明EH∥平面BCD；（2）由BD∥EH，由此能證明BD∥平面EFGH.【詳解】（1）∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD.∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD；（2）∵FG為△CBD的中位線，∴FG∥BD，∴FG∥EH，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面，∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.19．如圖，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M為AE的中點(diǎn).（1）求證：AC∥平面DMF；（2）求證：BE⊥DM.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）如圖，連結(jié)EC交DF于點(diǎn)N，連結(jié)MN.因?yàn)?/span>CDEF為矩形，所以EC，DF相互平分，所以N為EC的中點(diǎn).又因?yàn)?/span>M為EA的中點(diǎn)，所以MN∥AC.又因?yàn)?/span>AC?平面DMF，且MN?平面DMF.所以AC∥平面DMF.（2）因?yàn)榫匦?/span>CDEF，所以CD⊥DE.又因?yàn)?/span>∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因?yàn)?/span>DE∩AD＝D，DE，AD?平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因?yàn)?/span>DM?平面ADE，所以CD⊥DM.又因?yàn)?/span>AB∥CD，所以AB⊥DM.因?yàn)?/span>AD＝DE，M為AE的中點(diǎn)，所以AE⊥DM.又因?yàn)?/span>AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因?yàn)?/span>BE?平面ABE，所以BE⊥MD.20．如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得A，再根據(jù)線面平行的判定可得B即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，分別為線段的中點(diǎn)所以A.因?yàn)?/span>，所以B.又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)所以．因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因?yàn)?/span>，，平面，所以平面平面故在線段上存在一點(diǎn)，使平面平面．21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，與交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴O為的中點(diǎn)，∵E為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，∴平面；（2）證明：∵四邊形為正方形，∴，∵平面，且平面，所以，又∵平面，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面.22．如圖，在正三棱柱中，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）依據(jù)線面平行判定定理去證明平面；（2）先作出直線與平面所成角，再求其正切值即可解決.（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.為的中點(diǎn)，，且.，且，，且，四邊形是平行四邊形，.平面，平面平面.（2）取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接.平面平面，平面平面，平面.平面，直線與平面所成的角為.，

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