14.1.7 整式的除法
人教版數(shù)學(xué)八年級上冊
1.理解并掌握同底數(shù)冪的除法法則.（重點）2.探索整式除法的三個運算法則，能夠運用其進行計算.（難點）
問題：木星的質(zhì)量約是1.9×1024噸,地球的質(zhì)量約是5.98×1021噸,你知道木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的多少倍嗎?
木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的 (1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子該如何計算?
(1)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則填空：① ___·28=214； ② ___·5=54； ③ ___·b4=b12； ④ ___·a4=a9.(2)根據(jù)第(1)題所填的結(jié)果填空：① 214÷28=___=2(____)； ② 54÷5=___=5(____)；③ b12÷b4=___=b(____)； ④ a9÷a4=___=a(____)；⑤由所填的結(jié)果猜想 am÷an=a(____).
26
53
b8
a5
26
14-8
53
4-1
b8
12-4
a5
9-4
m-n
同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)即 同底數(shù)冪相除，底數(shù)_____，指數(shù)_____.
不變
相減
同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1.另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0.
于是規(guī)定：a0=1(a≠0) 這就是說，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
例1.計算： (1) x8÷x2 (2) (ab)5÷(ab)2
解：(1) x8÷x2=x8-2=x6(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3
【點睛】計算同底數(shù)冪的除法時，先判斷底數(shù)是否相同或變形為相同，若底數(shù)為多項式，可將其看作一個整體，再根據(jù)法則計算．
計算：(1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3
解：(1) x7÷x5=x7-5=x2(2) m8÷m8=m8-8=m0=1(3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3(4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2
例2.計算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
例3. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【點睛】解此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的除法即am－n =am÷an，對am－n－1進行變形，再代入數(shù)值進行計算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
例如，計算：12a3b2x3÷3ab2
∵ 4a2x3·3ab2=12a3b2x3∴ 12a3b2x3÷3ab2=4a2x3 上面的商式4a2x3的系數(shù)4=12÷3，a的指數(shù)2=3-1，b的指數(shù) 0=2-2，而 b0=1，x 的指數(shù)3=3-0.
單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.
12a3b2x3÷3ab2=4a2x3
單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.
例4.計算：(1) 28x4y2÷7x3y (2) -5a5b3c÷15a4b (3) (2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2
?
【點睛】掌握整式的除法的運算法則是解題的關(guān)鍵，注意在計算過程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．
計算：(1) 10ab3÷(-5ab) (2) -8a2b3÷6ab2 (3) -21x2y4÷(-3x2y3) (4) (6×108)÷(3×105)
?
例如，計算：(am＋bm)÷m ?
∵ (a＋b)m=am＋bm∴ (am＋bm)÷m=a＋b又am÷m＋bm÷m=a＋b∴ (am＋bm)÷m=am÷m＋bm÷m
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
例5.計算：(12a3-6a2+3a)÷3a ； (2) (6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.
解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a=4a2-2a+1；(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz－2xz＋1.
解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
計算：(6ab+5a)÷a ; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy; (3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．
例6.先化簡，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
原式＝x－y＝2022－2021＝1.
＝x－y.
把x＝2022，y＝2021代入上式，得
1.下列計算正確的是( )A. a6÷a2=a3 B. a5÷a5=a C. a3÷a=3 D. a5÷a2=a32.計算(-1)0+1的結(jié)果是( )A. 0 B. -1 C.1 D.23.已知8a3bm+ 8an b2=b2，則m，n的取值分別為( )A. m=4, n=3 B. m=4, n=1 C. m=1, n=3 D. m=2, n=34.3xy與一個多項式的積為6xy-3xy2,則這個多項式為( )A.6x2-y B.2x2-y C.2x2+y D.2x2-xy
D
D
A
B
5. a12 ÷ a5=_____,(ab)3 ÷ (ab)2=_____.6.8a2b2c ÷ 4ab=_____，6a3b÷ (-2a2b)=______.7. (a+b)6÷(a+b)2=______，(a-c)8÷ (c-a)2=______.8.若8a3b2 ÷M=2ab2 ,則M=____.9. (9×108)÷(-3×103)=____________.10. (16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-211.若2m=15，2n=5，則2m-n的值是_____.12.若某長方形的面積為4a2-6ab+2a,它的長為2a，則它的寬是__________.
a7
ab
2abc
-3a
(a+b)4
(a-c)6
4a2
-3×105
4x
3
2a-3b+1
?
?
14.木星的質(zhì)量約是1.9×1024噸,地球的質(zhì)量約是5.98×1021噸,你知道木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的多少倍嗎?
解：(1.90×1024)÷(5.98×1021)=(1.9÷5.98)×(1024÷1021)≈0.31×103≈310答：木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的310倍.
15.先化簡，再求值: (x+y) (x-y)-(4x3y- 8xy3) + 2xy, .其中x=1，y=-3.
解:原式=x2- xy+xy-y2- (2x2- 4y2)=x2-y2-2x2+4y2=-x2 + 3y2當x=1，y=-3時，原式=-12+3× (-3)2=-1+ 27= 26
16.已知am=9，an=27,求a3m-2n的值.
解:a3m -2n= a3m ÷a2n= (am)3÷(an)2=93÷272=(32)3÷(33)2=36÷36=1
17.觀察下列各式:(x2-1)÷(x-1)=x+1;(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;……(1)你能得到一般情況下(xn-1)÷ (x-1)的結(jié)果嗎?(n為不小于2的整數(shù))(2)根據(jù)這一結(jié)果計算: 1+2+22+23+···+262+263.
解: (1) (xn-1) ÷ (x- 1)=1+x+x2+x3+...+xn-2+xn-1(2)原式=(264-1)÷(2-1)=264-1
同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)即 同底數(shù)冪相除，底數(shù)_____，指數(shù)_____.
不變
相減
規(guī)定：a0=1(a≠0) 這就是說，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

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14.1.4 整式的乘法

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