?2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)考點(diǎn)必刷練精編講義（人教版）基礎(chǔ)
第14章《整式的乘法與因式分解》
章節(jié)達(dá)標(biāo)檢測
考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：100分
一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)
1．（2分）（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2
B．x2﹣4+2x＝（x+2）（x﹣2）+2x
C．2a（b+c）＝2ab+2ac
D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
解：A．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．原式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．（2分）（2022春?開福區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．（a+4）2＝a2+16 B．a(chǎn)3?a4＝a12
C．（﹣a）4＝﹣a4 D．7x3﹣2x3＝5x3
解：A、原式＝a2+8a+16，故A符合題意．
B、原式＝a7，故B不符合題意．
C、原式＝a4，故C不符合題意．
D、原式＝5x3，故D符合題意．
故選：D．
3．（2分）（2022?岳麓區(qū)一模）下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+4a2＝5a4 B．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2
C．（﹣2ab3）2＝4a2b6 D．x8÷x4＝x2
解：A：a2+4a2＝5a2≠5a4，故A不符合題意；
B：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2≠4x2﹣y2，故B不符合題意；
C：（﹣2ab3）2＝4a2b6，故C符合題意；
D：x8÷x4＝x4≠x2，故D不符合題意；
故選C．
4．（2分）（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如果（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，則一定成立的是（　?。?br /> A．a(chǎn)是b的相反數(shù) B．a(chǎn)是b的倒數(shù)
C．a(chǎn)是﹣b的相反數(shù) D．a(chǎn)是﹣b的倒數(shù)
解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，
而（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4ab，
∴4ab＝4，
則ab＝1，
故ab互為倒數(shù)．
故選：B．
5．（2分）（2022春?開福區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是（　　）
A．m10÷m2＝m5 B．（2m）2＝2m2 C．m3?m2＝m5 D．m3+m2＝m5
解：A、m10÷m2＝m8，故A不符合題意；
B、（2m）2＝4m2，故B不符合題意；
C、m3?m2＝m5，故C符合題意；
D、m3與m2不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故D不符合題意；
故選：C．
6．（2分）（2021秋?長沙縣期末）有一塊長為3a+2，寬為2b﹣1的長方形紙片，剪去一個(gè)長為2a+4，寬為b的小長方形，則剩余部分面積是（　?。?br />
A．4ab﹣3a﹣2 B．6ab﹣3a+4b
C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2
解：剩余部分面積：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故選：A．
7．（2分）（2022?天心區(qū)開學(xué)）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)4+a3＝a7 B．（a3）2＝a5
C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
解：A、a4與a3不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、（a3）2＝a6，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、a2?a3＝a5，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
8．（2分）（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+kx+4是完全平方式，則實(shí)數(shù)k的值為（　?。?br /> A．2 B．±2 C．4 D．±4
解：∵關(guān)于字母x的二次三項(xiàng)式x2+kx+4是完全平方式，
∴k＝±4．
故選：D．
9．（2分）（2021春?開福區(qū)校級(jí)月考）已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，則a的值為（　?。?br /> A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
解：∵方程（a﹣1）x|a|+3＝10是關(guān)于x的一元一次方程，
∴|a|＝1且a﹣1≠0．
解得a＝﹣1．
故選：C．
10．（2分）（2020春?射洪市期末）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
解：根據(jù)圖示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
則■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故選：A．
二、填空題(共10題；每題2分，共20分)
11．（2分）（2019秋?天心區(qū)校級(jí)期中）若（m+1）x|m|＝6是關(guān)于x的一元一次方程，則m等于 　1?。?br /> 解：根據(jù)題意得：m+1≠0且|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案是：1．
12．（2分）（2015秋?天心區(qū)期中）若方程：（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，則m的值為　﹣1?。?br /> 解：∵（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，
∴，
∴m＝﹣1；
故答案為：﹣1．
13．（2分）（2018?開福區(qū)校級(jí)開學(xué)）關(guān)于x的方程（2k﹣1）x2﹣（2k+1）x+3＝0是一元一次方程，則k值為　?。?br /> 解：由題意，得
2k﹣1＝0且2k+1≠0，
解得k＝，
故答案為：．
14．（2分）（2022春?長沙期中）分解因式：6x2y﹣3xy＝　3xy（2x﹣1）?。?br /> 解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案為：3xy（2x﹣1）．
15．（2分）（2022?長沙一模）因式分解：m2+2m＝　m（m+2）　．
解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案為：m（m+2）．
16．（2分）（2021?開福區(qū)模擬）把多項(xiàng)式ax2﹣4ax+4a因式分解的結(jié)果是 　a（x﹣2）2?。?br /> 解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案為：a（x﹣2）2．
17．（2分）（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長為a，b的矩形的周長為10，面積為6，則a2b+ab2的值為 　30?。?br />
解：∵邊長為a，b的矩形的周長為10，面積為6，
∴2（a+b）＝10，ab＝6，
整理得：a+b＝5，ab＝6，
則原式＝ab（a+b）＝6×5＝30．
故答案為：30．
18．（2分）（2022?開福區(qū)校級(jí)二模）已知x+y＝﹣2，xy＝4，則x2y+xy2＝　﹣8?。?br /> 解：原式＝xy（x+y），
當(dāng)x+y＝﹣2，xy＝4時(shí)，
原式＝﹣2×4＝﹣8，
故答案為：﹣8．
19．（2分）（2019秋?開福區(qū)校級(jí)期中）分解因式：2m3﹣8m2+8m＝　2m（m﹣2）2?。?br /> 解：原式＝2m（m2﹣4m+4）＝2m（m﹣2）2，
故答案為：2m（m﹣2）2．
20．（2分）（2019秋?天心區(qū)校級(jí)月考）若n滿足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，則（n﹣2019）（2020﹣n）＝　0?。?br /> 解：∵（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，
∴[（n﹣2019）+（2020﹣n）]2
＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）（2020﹣n）+（2020﹣n）2
＝1+2（n﹣2019）（2020﹣n）
＝1，
∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝0．
故答案為：0．
三、解答題(共9題；共60分)
21．（6分）（2016秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）因式分解：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（x﹣y）
（2）﹣2a3+12a2﹣18a．
（3）x3﹣4x
（4）x（x﹣2）﹣3．
解：（1）原式＝2（x﹣y）（a﹣3b）；
（2）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（3）原式＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）；
（4）原式＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．
22．（6分）（2021秋?望城區(qū)期末）已知一個(gè)長方形的周長為20，其長為a，寬為b，且a，b滿足a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，求a，b的值．
解：∵長方形的周長為20，其長為a，寬為b，
∴a+b＝20÷2＝10，
∵a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，
∴（a﹣b）2﹣4（a﹣b）+4＝0，
∴（a﹣b﹣2）2＝0
∴a﹣b﹣2＝0，
由此得方程組
解得：a＝6，b＝4．
23．（6分）（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）若10y＝x（x，y為正數(shù)），那么我們把y叫做x的“師梅值”記作y＝M（x）例如：102＝100，我們把2叫做100的“師梅值”，記作M（100）＝2．
（1）根據(jù)“師梅值”的定義，填空：M（10）＝　1?。籑（1000）＝　3?。?br /> （2）性質(zhì)：當(dāng)p、q為正數(shù)時(shí)，M（pq）＝M（p）+M（q），．
①若M（a）＝3，求M（a2）；
②若M（2）＝0.3，M（3）＝0.5，求；
（3）若設(shè)M（3）＝a﹣b，M（5）＝2a+c，下列計(jì)算正確的是 　②③④⑤?。ㄖ苯犹钚蛱?hào)），并選擇一個(gè)正確的序號(hào)給予證明．
①M(fèi)（9）＝（a﹣b）2；②M（2）＝1﹣2a﹣c；
③M（6）＝1﹣a﹣b﹣c；④M（1.5）＝3a﹣b+c﹣1；
⑤M（75）＝5a﹣b+2c．
解：（1）∵101＝10，
∴M（10）＝1．
∵103＝1000，
∴M（1000）＝3．
故答案為：1，3．
（2）①∵當(dāng)p、q為正數(shù)時(shí)，M（pq）＝M（p）+M（q），
∴M（a2）＝M（a）+M（a）＝3+3＝6．
②∵當(dāng)p、q為正數(shù)時(shí)，M（pq）＝M（p）+M（q），，
∴M（9）＝M（3）+M（3）＝0.5+0.5＝1，
＝M（2）﹣M（9）＝0.3﹣1＝﹣0.7．
（3）①M(fèi)（9）＝M（3×3）＝M（3）+M（3）＝2M（3）＝2（a﹣b）≠（a﹣b）2，故①不正確；
②＝1﹣（2a+c）＝1﹣2a﹣c，故②正確；
③M（6）＝M（2×3）＝M（2）+M（3）＝（1﹣2a﹣c）+（a﹣b）＝1﹣a﹣b﹣c，故③正確；
④M（1.5）＝M（）＝M（3）+M（2）＝（a﹣b）﹣（1﹣2a﹣c）＝3a﹣b+c﹣1，故④正確；
⑤M（75）
＝M（3×25）
＝M（3）+M（25）
＝M（3）+M（5×5）
＝M（3）+M（5）+M（5）
＝（a﹣b）+（2a+c）+（2a+c）
＝5a﹣b+2c，故⑤正確．
故答案為：②③④⑤．
24．（6分）（2022春?雨花區(qū)校級(jí)月考）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求am?an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣2）（n﹣2）的值．
解：（1）∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝am+n﹣amn
＝a3﹣a2，
當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝8﹣4＝4；
（2）∵m+n＝3，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1，
∴原式＝1+mn﹣2（m+n）+4
＝1+2﹣6+4
＝1．
25．（6分）（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是x+3，求另一個(gè)因式以及m的值．
解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n，則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
故另一個(gè)因式為x﹣7，m的值為﹣21．
仿照上面的方法解答下面問題：
已知二次三項(xiàng)式x2+3x﹣k有一個(gè)因式是x﹣5，求另一個(gè)因式以及k的值．
解：另一個(gè)因式為x+p，
由題意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
則有，
解得，
所以另一個(gè)因式為：（x+8）；k的值為40．
26．（6分）（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）圖1是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，將其沿著虛線用剪刀均分成4塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
（1）圖2中陰影部分的正方形邊長等于 　a﹣b?。?br /> （2）圖2中陰影部分的面積可以表示為 　（a﹣b）2　，也可以表示為 ?。╝+b）2﹣4ab　．
（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系解決下面問題，若a+b＝5，ab＝6，求a﹣b的值．

解：（1）根據(jù)拼圖可知，陰影正方形的邊長為（a﹣b），
故答案為：a﹣b；
（2）陰影正方形的邊長為（a﹣b），因此S陰影正方形的面積＝（a﹣b）2，
S陰影正方形的面積＝S大正方形的面積﹣S圖1的面積＝（a+b）2﹣4ab，
故有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案為：（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
當(dāng)a+b＝5，ab＝6時(shí)，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1．
即a﹣b的值為1．
27．（8分）（2019秋?雨花區(qū)期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”．
（1）28是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）根據(jù)上面的提示，判斷2020是否為“神秘?cái)?shù)”？如果是，請(qǐng)寫出兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)平方差的形式；如果不是，說明理由．
（4）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？
解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是“神秘?cái)?shù)”；
（2）兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，
∵2k+1是奇數(shù)，
∴它是4的倍數(shù)，不是8的倍數(shù)；
（3）∵2020＝505×4，
∴2020是“神秘?cái)?shù)”，2020＝5062﹣5042，
（4）設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為：2k+1，2k﹣1，則
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
此數(shù)不是4的奇數(shù)倍，
所以兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．
28．（8分）（2021秋?長沙縣期末）方法探究：
已知二次多項(xiàng)式x2﹣4x﹣21，我們把x＝﹣3代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x+3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x+k），多項(xiàng)式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），則有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多項(xiàng)式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．
問題解決：
（1）對(duì)于二次多項(xiàng)式x2﹣4，我們把x＝　±2　代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)x2﹣4＝0成立；
（2）對(duì)于三次多項(xiàng)式x3﹣x2﹣3x+3，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x﹣1），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），多項(xiàng)式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），試求出題目中a，b的值；
（3）對(duì)于多項(xiàng)式x3+4x2﹣3x﹣18，用“試根法”分解因式．
解：（1）當(dāng)x＝±2時(shí)，x2﹣4＝0，
故答案為：±2；
（2）由題意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）當(dāng)x＝2時(shí)，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多項(xiàng)式有因式（x﹣2），
設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
29．（8分）（2018秋?天心區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．
例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請(qǐng)解答下列問題：
（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：?。╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．
（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝　30?。?br /> （3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長方形，則x+y+z＝　9　．
【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：　x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．?。?br />
解：（1）由圖2得：正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案為：30；…（4分）
（3）由題意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴，
∴x+y+z＝9，
故答案為：9；…（6分）
（4）∵原幾何體的體積＝x3﹣1×1?x＝x3﹣x，新幾何體的體積＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案為：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)電子課本

14.1.4 整式的乘法

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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