14.1.5 多項式與多項式相乘
人教版數(shù)學八年級上冊
1.理解并掌握多項式與多項式的乘法運算法則.（重點）2.能夠靈活運用多項式與多項式的乘法運算法則進行計算.（難點）
1.請說出單項式與單項式相乘的法則：2.如何進行單項式與多項式乘法的運算？3.進行單項式與多項式乘法運算時，要注意什么？
①不能漏乘：即單項式要乘遍多項式的每一項；②去括號時注意符號的確定.
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
計算:(1)(3x3y) · (-2xy2); (2)(-ab3c2)3 · (-2a3b)2 ;(3)3a(2a2-1); (4)2x(x-2)-4x(x-1).
解：(1)(3x3y) · (-2xy2)=3×(-2)×(x3 · x)(y ·y2)=-6x4y3; (2)(-ab3c2)3 · (-2a3b)2=(-a3b9c6) · (4a6b2)=-4a9b11c6;(3)3a(2a2-1)=6a3-3a; (4)2x(x-2)-4x(x-1)=2x2-4x-4x2+4x=2x2-4x2-4x+4x=-2x2.
問題:如圖，為了擴大街心花園的綠地面積，把一塊原長a米、寬p米的長方形綠地，加長了b米，加寬了q米. 你能用幾種方法求出擴大后的綠地面積？
方法一：(a + b)(p + q) ①
方法二：ap + aq + bp + bq ②
ap
bp
aq
bq
由于①②表示同一個數(shù)量，所以 (a + b)(p + q)= ap + aq + bp + bq
方法一：(a + b)(p + q) ①
方法二：ap + aq + bp + bq ②
計算(a+b)(p+q)，可以先把其中的一個多項式，如p+q，看成一個整體，運用單項式與多項式相乘的法則，得 (a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)再利用單項式與多項式相乘的法則，得 a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq 總體上看，(a+b)(p+q)的結果可以看作a+b的每一項乘p+q的每一項，再把所得的積相加而得到的，即
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
多乘多順口溜：
多乘多，來計算，多項式各項都見面，乘后結果要相加，化簡、排列才算完.
例1.計算：(1) (3x+1)(x+2) (2) (x-8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2)
解：(1)(3x+1)(x+2) =(3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2(2)(x-8y)(x-y) =x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2(3)(x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3
【點睛】在進行多項式與多項式相乘時要注意結果中有同類項的要合并同類項;計算時要注意符號問題；不要漏乘.
計算：(1) (2x+1)(x+3) (2) (m+2n)(3n-m) (3) (a-1)2(4) (a+3b)(a-3b) (5) (2x2-1)(x-4) (6) (x2+2x+3)(2x-5)
解：(1)原式=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3(2)原式=3mn-m2+6n2-2mn=mn-m2+6n2(3)原式=(a-1)(a-1)=a2-a-a+1=a2-2a+1(4)原式=a2-3ab+3ab-9b2=a2-9b2(5)原式=2x2-8x2-x+4(6)原式=2x3-5x2+4x2-10x+6x-15=2x3-x2-4x-15
練一練：
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)(x-4)(x+1)=__________；
(3)(y+4)(y-2)=__________；
(4)(y-5)(y-3)=__________.
x2+5x+6
x2-3x-4
y2+2y-8
y2-8y+15
由上面計算的結果找規(guī)律，觀察填空：
(x+p)(x+q)=___2+______x+______.
x
(p+q)
pq
例2.先化簡，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
當a＝－1，b＝1時，
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
原式＝－8＋2－15＝－21.
?
?
例3.已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項，也不含x項，求系數(shù)a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2.
∵積不含x2項，也不含x項，
【點睛】解決此類問題首先要利用多項式乘法法則計算出展開式，合并同類項后，再根據(jù)不含某一項，可得這一項系數(shù)等于零，再列出方程(組)解答．
若(x2+mx+8)(x2﹣3x+n)的展開式中不含x3和x2的項，求mn的值．
例4.小麗設計了兩枚“中國夢”的郵票，第一枚的寬是m厘米，長比寬多x厘米;第二枚的寬是第一枚的長，且第二枚的長比寬多2x厘米.(1)求第一枚郵票的面積.(2)第二枚郵票比第一枚郵票的面積大多少?
解:(1)m (m+x)=m2+mx(2)(m+x) (m+3x)-(m2+mx)=m2+3mx+mx+3x2-m2-mx=3mx+3x2答:第一枚郵票的面積是中國郵(m2+mx)厘米2， 第二枚郵票的政面積比第一枚大(3mx+3x2)厘米2.
例5.已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28，其中a、b、m均為正整數(shù)，你認為m可取哪些值？它與a、b的取值有關嗎？請你寫出所有滿足題意的m的值.
解：由題意可得a+b=m,ab=28.
∵a、b均為正整數(shù)，故可分以下情況討論：
①a=1,b=28或a=28,b=1，此時m=29;
②a=2,b=14或a=14,b=2，此時m=16;
③a=4,b=7或a=7,b=4，此時m=11.
綜上所述，m的取值與a、b的取值有關，m的值為29或16或11.
1.計算(x+1)(x+2)的結果為( )A.x2+2 B.x2+3x+2 C.x2+3x+3 D.x2+2x+22.下列多項式相乘的結果為x2+3x-18的是( )A. (x-2)(x+9) B. (x+2)(x-9) C. (x+3)(x-6) D. (x-3)(x+6)3.若(x+3)(x+n)=x2+mx-15,則m的值為( )A.-5 B.5 C.-2 D.24.已知(x-2)(x2+mx+n)的乘積項中不含x2和x項， 則m，n的值分別為( )A. m=2,n=4 B. m=3, n=6 C. m=-2，n=-4 D. m=-3，n=-6
B
D
C
A
5.設M=(x-3) (x-7)，N=(x-2)(x-8)，則M與N的關系為( )A.MN C. M=N D.不能確定6.通過計算比較圖①、圖②中陰影部分的面積，可以驗證的計算式子是( )A.a(b-x)=ab-ax B. b(a-x)=ab-bx .C. (a-x) (b-x)=ab-ax-bx D. (a-x) (b-x)=ab-ax-bx+x2
B
D
7.計算:(1) (x+3) (x+4)=____________; (2) (x-3)(x-4)=____________; (3) (x+3) (x-4)=_____________; (4) (x-3) (x+4)=_____________.8.若(x-2) (x+3)=x2+ax+b， 則a=____,b=____.9.如果a2+a=1,那么(a-5) (a+6)的值為_____.10.通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式(一定成立的等式)，請根據(jù)右圖寫出一個代數(shù)恒等式是:___________________________.
x2+7x+12
x2-7x+12
x2-x-12
x2+x-12
1
-6
-29
(a+b) (2a+b) =2a2+3ab+b2
11.計算:(2x+3y) (x -2y) (2) (-2a+3) (5+a) (3) (-3m+2)2(4) (m+2) (2m2-m-3)
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4(4)原式= 2m3-m2-3m+4m2-2m-6= 2m3-m2+4m2-3m-2m-6= 2m3+3m2-5m-6
?
?
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
多乘多順口溜：
多乘多，來計算，多項式各項都見面，乘后結果要相加，化簡、排列才算完.

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14.1.4 整式的乘法

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