?專訓12.3.1 角平分線的性質+判定
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是_______．

【答案】30
【分析】
作于E，如圖，利用基本作圖得到AP平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質得，然后根據(jù)三角形面積公式．
【詳解】
解：作于E，如圖，

由作法得AP平分∠BAC，
∴，
∴△ABD的面積=．
故答案為：30．
【點睛】
本題考查了基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
2．如圖，是的角平分線，點是上一點，于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為______．

【答案】6
【分析】
根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時，PN最短，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，從而得解．
【詳解】
當PN⊥OA時，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM=PN，
∵PM=6，
∴PN的最小值為6．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．
3．如圖，在中，為的平分線，于點，于點．若的面積是，，，則____．

【答案】2
【分析】
先根據(jù)角平分線的性質得出DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．
【詳解】
解：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB?DE+AC?DF，
∵△ABC面積是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴×20DE+×8DF=10DE+4DF=14DE=28，
解得DE=2cm．
故答案為：2．
【點睛】
本題考查的是角平分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．
4．如圖，在中，，平分，過點作于，若，的周長為11，則______．

【答案】8
【分析】
利用角平分線的性質推出，再根據(jù)三角形的周長計算得出答案．
【詳解】
解：∵平分，過點作于，，
∴
∴的周長，
∴．
故答案為：8
【點睛】
此題考查角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，熟記定理是解題的關鍵．
5．如圖所示，AD是△ABC的平分錢，DF⊥AB于點F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：則△ADE的面積為________．

【答案】5
【分析】
過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質得到DH＝DF，進而證明Rt△DEF≌Rt△DGH，根據(jù)全等三角形的性質得到△DEF的面積＝△DGH的面積=2，同理：△ADF的面積＝△ADH的面積=7，進而即可求解．
【詳解】
解：過點D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∵，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面積＝△DGH的面積=2，
同理可證，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面積＝△ADH的面積=9-2=7，
∴△ADE的面積=7-2=5．
故答案是：5．
【點睛】
本題考查的是全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，作輔助線構造出全等三角形并利用角平分線的性質是解題的關鍵．
6．如圖，在中，是的角平分線，，垂足為E，若_______．

【答案】2
【分析】
根據(jù)角平分線的性質定理即可完成．
【詳解】
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案為：2．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質定理，關鍵是清楚定理的條件：一是角平分線，二是經過角平分線的點的直線，且這兩條直線垂直角的兩邊，即要有兩個垂直，具體在有些題目中，往往缺少一個或兩個垂直，這時要作一個垂直或兩個垂直．
7．如圖在中，，平分，于，如果，那么________．

【答案】3
【分析】
根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE=DE，然后求出AC=AE+DE．
【詳解】
解：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE=DE，
∴AC=AE+CE=AE+DE=3．
故答案為：3．
【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
8．如圖，在中，，是的平分線，若，，則的面積是________．

【答案】6
【分析】
設點到的距離為，根據(jù)角平分線的性質即可求解
【詳解】
設點到的距離為，
是的平分線，，
，


故答案為：6
【點睛】
本題考查了角平分線的性質，熟悉角平分線的性質是解題的關鍵．
9．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，點D是OB上的動點，若PC＝1cm，則PD的長的最小值為 ___．

【答案】
【分析】
根據(jù)垂線段最短可知，當時最短，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，從而得解．
【詳解】
解：垂線段最短，
當時最短，
是的平分線，，
，
，
，
即長度最小為1．
故答案為：．

【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，垂線段最短的性質，解題的關鍵是：確定出最小時的位置是解題的關鍵．
10．如圖，，，交的角平分線于點，．則______．

【答案】
【分析】
根據(jù)，求出，由對頂角相等及角平分線性質求出，最后根據(jù)三角形的外角性質求出即可．
【詳解】
解：，
，
，
是的角平分線，
，
為三角形的外角，
，
，
故答案是：．
【點睛】
本題考查了平行線的性質、對頂角、角平分線的性質、三角形的外角，解題的關鍵是掌握相關的性質，靈活運用．
11．如圖，是的角平分線．若，則點D到的距離是_________．

【答案】
【分析】
根據(jù)角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得．
【詳解】
如圖，過D作，則D到的距離為DE


平分，，

點D到的距離為．
故答案為．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質是解題關鍵．
12．如圖，在中，，平分交于點，，垂足為，若，，則的長為______．

【答案】
【分析】
先根據(jù)角平分線的性質可得，再根據(jù)線段的和差即可得．
【詳解】
解：平分，，，，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵．
13．如圖，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，EF∥BC交BD于點G，若∠BEG＝130°，則∠DGF＝_____°．

【答案】25
【分析】
根據(jù)角平分線的定義得到∠EBG＝∠CBG，根據(jù)平行線的性質得到∠EGB＝∠CBG，等量代換得到∠EBG＝∠EGB，再根據(jù)三角形的內角和定理和對頂角的性質于是得到結論．
【詳解】
解：∵EF∥BC，
∴∠EGB＝∠CBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠CBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵∠BEG＝130°，
∴∠EGB＝＝25°，
∴∠DGF＝∠EGB＝25°．
故答案為：25．
【點睛】
本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
14．如圖，在中，，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，交于點．已知，，則點到的距離為________．

【答案】6
【分析】
如圖，過點E作ET⊥AB于T．證明ET=EC，可得結論．
【詳解】
解：如圖，過點E作ET⊥AB于T．

∵BC=14，BE=8，
∴EC=BCBE=6，
由作圖可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC=6，
故答案為：6．
【點睛】
本題考查作圖——復雜作圖，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
15．判斷正誤：三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三頂點的距離相等__．
【答案】
【分析】
根據(jù)三角形角平分線的性質分析，即可得到答案．
【詳解】
由角平分線性質可知：三角形的三條角平分線交于一點，這點到三角形的三邊的距離相等；
故答案為：．
【點睛】
本題考查了三角形角平分線的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形角平分線的性質，從而完成求解．
16．如圖，在和中，，，，，連接、交于點，連接．下列結論：①，②，③平分，④平分．其中正確的結論是______（填序號）．

【答案】①②④
【分析】
由SAS證明△AOC≌△BOD得出， 得出∠OAC＝∠OBD，由扇形內角和：∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；由△AOC≌△BOD得出AC＝BD，②正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形對應邊上的高相等，得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠AMD，④正確；假設MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③錯誤；即可得出結論．
【詳解】
解：設AC與OB交于G
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠OGA＝∠MGB，
∴∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正確；
∵△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，故②，
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，

則∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴S△OAC=S△OBD，即AC·OG=BD·OH，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正確；
假設MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，
在△AMO與△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，
∴假設不正確，不能平分
故③錯誤；
正確的序號有①②④．
故答案為①②④．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的內角和性質、角平分線的判定與性質，反證法等知識；掌握全等三角形的判定與性質、三角形的內角和性質、角平分線的判定與性質，反證法等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．
17．如圖，已知中，，點在上，，點為垂足，且，聯(lián)結，則的大小為___________．

【答案】112.5°
【分析】
首先根據(jù)角平分線的判定方法判定AD是∠BAC的平分線，然后利用外角性質求∠ADB的度數(shù)即可.
【詳解】
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt?ACD和Rt?AED中
，
∴Rt?ACD≌Rt?AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝22.5°，
∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.
故答案為：112.5°．
【點睛】
本題考查了角平分線的判定方法以及三角形外角的性質，角平分線的判定方法是：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．
18．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊AC 上，DE⊥AB于點E，DC=DE，∠A=32°，則∠BDC的度數(shù)為________．

【答案】61°
【分析】
首先利用直角三角形的性質求得∠ABC的度數(shù)，然后利用角平分線的判定方法得到BD為∠ABC的平分線，再求出∠ABD的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質進而求得結論．
【詳解】
解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，
∴BD為∠ABC的平分線，
∴∠CBD=∠EBD，
∴∠CBD=∠CBA=×58°=29°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．
故答案為：61°．
【點睛】
本題考查了角平分線的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)已知條件得到BD為∠ABC的平分線，難度不大．
19．數(shù)學課上，同學們興致勃勃地嘗試著利用不同畫圖工具畫一個角的平分線．小明用直尺畫角平分線的方法如下：
（1）用直尺的一邊貼在∠AOB 的OA邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線m；
（2）再用直尺的一邊貼在∠AOB 的OB邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線n，直線m與直線n交于點D；
（3）作射線OD．射線OD是∠AOB的平分線．
請回答：小明的畫圖依據(jù)是____________________．

【答案】角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
【分析】
根據(jù)角平分線的判定定理即可得出答案．
【詳解】
∵作圖時使用同一把尺子，尺子的寬度是一致的，
∴點D到OA和OB的距離是一樣的，
∴射線OD是∠AOB的平分線（角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．
故答案為：角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．
【點睛】
本題考查了角平分線的判定定理，熟練掌握角平分線判定定理是解題關鍵．
20．如圖，中，、的角平分線、交于點P，延長、，則下列結論中正確的有_______．（將所有正確序號填在橫線上）
①平分；②，③；④若，，則．

【答案】①②③④
【分析】
①作PD⊥AC于D．由角平分線的性質得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正確；②首先證出∠ABC+∠MPN=180°，證明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正確；③由角平分線和三角形的外角性質得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③正確；④由全等三角形的性質得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正確；即可得出答案．
【詳解】
解：①作PD⊥AC于D．

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴點P在∠ACF的角平分線上，故①正確；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正確；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正確；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已證），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已證），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④正確；
故答案為：①②③④．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質定理和判定定理，全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細分析便不難求解．
21．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足為E．若AD＝DE且∠C＝50°，則∠ABD＝_____°．

【答案】
【分析】
利用三角形的內角和定理先求解，再利用角平分線的性質定理的逆定理證明：平分 從而可得答案．
【詳解】
解：


平分

故答案為：
【點睛】
本題考查的是三角形的內角和定理，角平分線的定義及性質定理的逆定理，掌握角平分線的性質定理的逆定理是解題的關鍵．
22．如圖，BD⊥AE于點B，DC⊥AF于點C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，則∠DGF= _____________

【答案】150°
【分析】
先根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上得到AD是∠BAC的平分線，求出∠CAD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可求解．
【詳解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分線，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．
故答案為：150°．
【點睛】
本題考查了角平分線的判定與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，仔細分析圖形是解題的關鍵．
23．如圖，O是△ABC內一點，且O到三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，則∠BOC的度數(shù)為_________．

【答案】130°
【分析】
根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出點O是三角形三條角平分線的交點，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【詳解】
解：∵O到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE，
∴點O是三角形三條角平分線的交點，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°．
故答案為：130°．
【點睛】
本題考查了到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質，三角形的內角和定理，要注意整體思想的利用．
24．如圖，中，，AB>AC，兩內角的平分線CD、BE交于點O，平分交BC于F，（1）；（2）連AO，則AO平分；（3）A、O、F三點在同一直線上；（4）OD=OE；（5）BD+CE=BC． 其中正確的結論是__________．（填序號）

【答案】①②④⑤．
【分析】
根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB度數(shù)，求出∠EBC+∠DCB度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理求出∠BOC即可判斷①，過O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N， 根據(jù)角平分線性質求出OQ=OM=ON，根據(jù)角平分線性質求出AO平分∠BAC即可判斷②；假設三點共線，利用三角形的外角的性質逆推可得：與已知條件AB>AC，得＞，互相矛盾，可判斷③，證，即可推出OD=OE，從而判斷④，通過全等求出BM=BN，CN=CQ，代入即可求出BD+CE=BC，從而判斷⑤．
【詳解】
解：∵∠A=60°，
∴
∴
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴
∴
∴
∴①正確；
過O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，

∵O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點，
∴OM=ON，ON=OQ，
∴OQ=OM，
∴O在∠A平分線上，
∴②正確；
如圖，若三點共線，





∵AB＞AC，
∴∠ABC＜∠ACB，
所以：A、O、F不在同一直線上，
∴③錯誤；
∵
∴
OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC，
∴∠AMO=∠AQO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠MOQ=120°，
∴∠DOM=∠EOQ，
在和中，

∴（AAS），
∴OE=OD，
∴④正確；
在與中，

∴，

同理，，

∴，
∵DM=EQ，
∴BC=BD+CE，
∴⑤正確；
故答案為：①②④⑤．
【點睛】
本題考查了角平分線性質，三角形的內角和定理，三角形的外角的性質，全等三角形的性質和判定的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．
25．如圖，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質，則有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．

【答案】PM=PN PM⊥OA，PN⊥OB
【分析】
依據(jù)角平分線的定理和逆定理可知．
【詳解】
解：OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，



反之
PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，



OP平分∠AOB
故答案為：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB
【點睛】
本題考查角平分線性質及其逆定理、全等三角形的判定與性質，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
26．如圖，已知點D是△ABC的兩外角平分線的交點，下列說法：
（1） AD=CD；（2）D到AB、BC的距離相等；（3） D到△ABC的三邊的距離相等；（4） 點D在∠B的平分線上； 其中正確的說法的序號是________________.

【答案】（2）,（3）,（4）
【解析】
試題解析：如圖，過點D作交BA的延長線于E，作交BC的延長線于F，作于G，

∵點D是的兩外角平分線的交點，
故正確；
故正確；
∴點在的平分線上，故正確；
只有時，
，故錯誤.
綜上所述，說法正確的是.
故答案為.
點睛:角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
27．如圖，為中點，平分若則的度是__________．

【答案】
【分析】
根據(jù)已知條件以及直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、四邊形的內角和是可求出，再根據(jù)角平分線的判定和性質即可求得答案．
【詳解】
解:過點作于點，如圖：

∵,
∴
∵平分
∴
∵
∴在四邊形中，
∵，，平分
∴
∵為中點
∴
∴
∵，
∴平分
∴
故答案是：
【點睛】
本題重點考查了角平分線的定義、判定和性質，涉及到的知識點有直角三角形的兩銳角互余和四邊形的內角和，其中證得是解題的關鍵．
28．如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④平分，其中正確的序號是__________．

【答案】①②④
【分析】
由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；
由全等三角形的性質得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正確；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC=∠OHD=90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；
先假設OM平分∠AOD，推出OA=OC與條件中相矛盾，推出③錯誤．
【詳解】
解：∵∠AOB=∠COD=40，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC△BOD，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；
∵△AOC△BOD
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40，
∴∠CMD=∠AMB=40，②正確；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖2所示：

則∠OGC=∠OHD=90，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG△ODH，
∴OG=OH，
∵OG⊥MC，OH⊥MB
∴MO平分∠BMC，④正確；
∵∠AOB=∠COD，
假設OM平分∠AOD，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠DOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
與OA>OC矛盾，
故假設不成立，OM不平分∠AOD
∴③錯誤；
故答案為：①②④
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
29．如圖，，是、的角平分線交點，是、外角平分線交點，則______，_____，聯(lián)結，則______，點____（選填“在”、“不在”或“不一定在”）直線上．

【答案】116 64 26 在
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），據(jù)此可求∠BOC的度數(shù)；
∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形內角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，據(jù)此可求∠BPC的度數(shù)；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分線的性質定理可證明PG=PH，于是可證得AP平分∠BAC，據(jù)此可求∠PAB的度數(shù)；
同理可證OA平分∠BAC，故點在直線上．
【詳解】
解：∵O點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）
= （180°-∠A）
=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90°+26°
=116°；
如圖，

∵BP、CP為△ABC兩外角的平分線，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），
∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形內角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- （∠A+180°）
=90°- ∠A
=90°-26°
=64°．
如圖，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，連接AP，

∵BP、CP為△ABC兩外角的平分線，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴26°
同理可證OA平分∠BAC，
點在直線上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【點睛】
此題主要考查了角平分線的性質定理和判定定理及三角形內角和定理，熟知定理并正確作出輔助線是解題關鍵．
30．小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明的做法，其理論依據(jù)是__

【答案】在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
【分析】
根據(jù)角平分線的性質即可證明.
【詳解】
因為直尺的寬度一樣，故點P到AO與BO的距離相等，故可知PO為角平行線.
【點睛】
此題主要考查角平行線的性質，解題的關鍵是熟知角平分線的性質.
31．如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A、B分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上移動,點M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射線MB，若∠1=∠2，則∠M的度數(shù)是_______。

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形內角與外角的關系可得
由角平分線的性質可得
根據(jù)三角形內角和定理可得
易得∠M的度數(shù)。
【詳解】
在中，是的外角
∴
由三角形內角和定理可得
∵
∴
∵平分
∴
由三角形內角與外角的關系可得
∵
∴
又∵
∴
∴


【點睛】
本題考查三角形外角的性質，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和。
32．如圖所示，I是△ABC三內角平分線的交點，IE⊥BC于E，AI延長線交BC于D，CI的延長線交AB于F，下列結論：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=IE（AB+BC+AC）；③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正確的結論是_____．

【答案】①②③．
【詳解】
①∵I為△ABC三條角平分線的交點，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，
∴∠CID+∠ABI=90°，
∵IE⊥BC于E，
∴∠BIE+∠IBE=90°，
∵∠ABI=∠IBE，
∴∠BIE=∠CID；
即①成立；
②∵I是△ABC三內角平分線的交點，
∴點I到△ABC三邊的距離相等，
∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=?AB?IE+BC?IE+AC?IE=IE（AB+BC+AC），
即②成立；
③如圖，過I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三內角平分線的交點，
∴IE=IH=IG，
在Rt△AHI與Rt△AGI中，
，
∴Rt△AHT≌Rt△AGI（HL），
∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，
∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC，
∴BE=（AB+BC﹣AC）；
即③成立；
④由③證得IH=IE，
∵∠FHI=∠IED=90°，
∴△IHF與△DEI不一定全等，
∴HF不一定等于DE，
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，
即④錯誤．
故答案為①②③．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，解答此類題目的關鍵是要熟練掌握三角形內角與外角的關系．


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12.3 角的平分線的性質

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