【教材分析】
【教學(xué)流程】
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識
技能
1.掌握作已知角的平分線的方法
2.掌握角平分線的定理.
過程
方法
通過折疊角感知角的平分線的定理，通過三角形全等的證明，得到結(jié)論：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.
情感
態(tài)度
體會通過動手操作感知和運(yùn)用推理論證獲取數(shù)學(xué)規(guī)律的方法.
重點(diǎn)
角的平分線的性質(zhì)定理的證明.
難點(diǎn)
掌握角的平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，克服思維定式.
環(huán)節(jié)
導(dǎo) 學(xué) 問 題
師 生 活 動
二次備課
情
境
引
入
如圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線，你知道其中的道理嗎？


教師出示問題，創(chuàng)設(shè)情境
激情造勢；
學(xué)生感知情境，思考、探究
根據(jù)“sss”，可證明△ACD≌△ACB
自
主
探
究
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
問題1：在練習(xí)本上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？
你能評價這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？
問題2：下圖是一個平分角的儀器，其中AB =AD，BC =DC，將點(diǎn)A 放在角的頂點(diǎn)，AB 和AD 沿著角的兩邊放下，沿AC 畫一條射線AE，AE 就是∠DAB 的平分線．你能說明它的道理嗎？
感悟?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，用尺規(guī)作角的平分線
問題3：從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？
C
A
D
B
M
N


你能說明為什么射線OC 是∠AOB 的平分線嗎？
問題4
如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠A的平分線OC，在OC 上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P 畫出OA，OB 的垂線，分別記垂足為D，E，測量 PD，PE 并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC 上再取幾個點(diǎn)試一試．通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？
追問1：通過動手實(shí)驗(yàn)、觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，你能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？
已知：∠AOC = ∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．
求證：PD =PE．
追問2：由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？
（1）明確命題中的已知和求證；
（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；
（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．
追問3：角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？
主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等．
例題探究：
例：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，
求證：CF=EB.

學(xué)生可能用量角器、折紙的方法動手操作，然后回答問題.
學(xué)生分析并回答.
師啟發(fā)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，并用全等三角形的知識解釋.
師生共同探究角平分線的作法.
已知：∠MAN
求作：∠MAN的角平分線.
作法：（1）以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AM于B，交AN于D.
（2）分別以B、D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠MAN的內(nèi)部交于點(diǎn)C.
（3）畫射線AC.
∴射線AC即為所求.
學(xué)生用三角形全等進(jìn)行證明，明確作圖理論依據(jù).
學(xué)生動手操作，獨(dú)立思考，然后匯報自己的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生互相補(bǔ)充，師指導(dǎo)，共同概括出角平分線的性質(zhì).
師先引導(dǎo)學(xué)生分析命題的題設(shè)和結(jié)論，然后讓學(xué)生畫出圖形并用符號語言寫出已知求證，再獨(dú)立完成證明過程.
師生共同概括證明幾何命題的一般步驟.
學(xué)生回答，師強(qiáng)調(diào).
師生共同分析；找出解題思路
學(xué)生獨(dú)立完成證明過程
證明：∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴ CD＝DE (角平分線的性質(zhì))
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中
CD=DE （已證）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CF=EB
嘗
試
應(yīng)
用
1、∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離是1.5cm，則M到OB的距離為_______.
2、如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△DBC的面積是_ _.

3、如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB＝FC.

生自主探究，合作交流
師生共同評價，糾錯
2.15
3.證明：∵AD是∠BAC的角平分線，
DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
∵BD=CD
∴DE=DF
∴△BED≌△CFD（ HL ）
∴EB=FC
成
果
展
示
欣賞自我：本節(jié)課你學(xué)會了什么？
完善自我：對本課的內(nèi)容，你還有哪些疑惑？
師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié).
梳理知識，并建立知識體系.
補(bǔ)
償
提
高
如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線， PE∥AB，交BC于點(diǎn)E，PF∥AC，交BC于點(diǎn)F.求證點(diǎn)D到PE和PF的距離相等.

證明：∵AD是∠BAC的角平分線
∴∠BAD=∠CAD
又∵PE∥AB，PF∥AC
∴∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，
∴∠EPD=∠FPD
∴點(diǎn)D到PE和PF的距離相等
作
業(yè)
設(shè)
計
課后作業(yè):
課本P51頁習(xí)題12.3第4、5題
教師布置作業(yè)，提出要求
學(xué)生獨(dú)立完成，自我檢查學(xué)習(xí)效果

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

年級： 八年級上冊

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