?專題12.3 角的平分線的性質

目標導航

1. 會用尺規(guī)作一個角的平分線，知道作法的合理性.
2. 探索并證明角的平分線的性質.
3. 掌握角的平分線的性質和判定，能靈活運用角的平分線的性質和判定解決簡單的問題.
知識精講

知識點01 角的平分線及其性質
知識點
1．尺規(guī)作角平分線
尺規(guī)作角平分線方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.

2. 角平分線的性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
【微點撥】
應用角平分線的性質定理所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.
角平分線的性質定理的作用是證明線段相等.
【知識拓展1】角平分線的作法及應用
例1．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，．請用尺規(guī)在邊上作一點，使點到點的距離與點到邊的距離．（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【即學即練】
1．（2021·江蘇南通市·八年級期末）如圖①，已知，用尺規(guī)作它的角平分線（如圖②）．

尺規(guī)作圖具體步驟如下，
第1步：以為圓心，以為半徑畫弧，分別交射線于點；
第2步：分別以為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在內部交于點；
第3步：畫射線．射線即為所求．下列說法正確的是（ ）
A．有最小限制，無限制 B．的長
C．的長 D．連接，則垂直平分
2.（2022·河南洛陽·八年級期末）學習角的平分線之后，老師留了一道思考題：還有沒有其他作角平分線的方法（不限于圓規(guī)和直尺）．下面是兩位同學給出的兩種方法：
(1)同學1：我是用三角板按下面方法畫角平分線：如圖1，在已知的上，分別?。俜謩e過點，作，的垂線，交點為，畫射線，則平分．請你幫這位同學證明：平分．
(2)同學2：我是用圓規(guī)和直尺按下面方法畫角平分線：如圖2，以為圓心，以任意長為半徑畫弧與，交于點，，再以任意長為半徑畫弧與，交于點，，連接，交于點，連接，則平分．你認為同學2這種作角平分線的方法正確嗎？若正確，請你給出證明過程；若錯誤，說出你的理由．

【知識拓展2】角平分線的性質的運用
例2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖，的外角的平分線CE與內角的平分線BE交于點E，若，則的度數(shù)為（???????）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【即學即練】
2.（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）如圖，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，則△AED的周長是______cm．

【知識拓展3】角平分線的性質與等積法
例3．（2022·重慶·八年級課時練習）如圖，的三邊，，的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點O，連接OA，OB，OC，將分成三個三角形，則等于__________．

【即學即練】
3.（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分線交于點O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面積為18，則△BOC的面積為（?????）

A．27 B．54 C． D．108

【知識拓展4】角平分線的性質與實際應用
例4．（2022·河南·八年級月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個加油站，計劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【即學即練】
4.（2022·山西呂梁市·八年級期中）如圖是體育場的一塊三角形休息區(qū)，要在休息區(qū)內設一個供水臺供大家休息飲水，要使供水臺到，，的距離相等，供水臺應該選在（ ）

A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處
C．三條高線所在的直線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處

知識點02 角平分線的判定
知識點
1. 角平分線的判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
定理的幾何表述：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴點P 在∠AOB的平分線上.
圖1 圖2
2．三角形的內角平分線
結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.
已知如圖2，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P， 則點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
【微點撥】
1、已知AD是三角形ABC的角平分線，則有:（證明思路：,）

2、已知：三角形ABC的角平分線交于一點P，則有：。
【知識拓展1】角平分線的判定（實際應用）
例1．（2021·廣東清新·八年級期中）如圖，點是內一點，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，則點是（ ）

A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點
C．三條高所在直線的交點 D．三條中線的交點
【即學即練】
1．（2022?夏津縣八年級期末）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（　?。?br />
A．角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確

【知識拓展2】角平分線的判定的運用
例2．（2021·安徽安慶市·八年級期末）如圖O是內的一點，且O到三邊AB、BC、CA的距離．若，則（ ）．

A．125° B．135° C．105° D．100°
【即學即練】
2.（2022·廣東·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足為E．若AD＝DE且∠C＝50°，則∠ABD＝_____°．


【知識拓展3】角平分線的判定（證明）
例3．（2022·綿陽市·八年級專題練習）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點，于點，，交的延長線于點．
(1)若點到直線的距離為5cm，求點到直線的距離；(2)求證：點在的平分線上．

【即學即練】
3.（2022·江蘇·八年級專題練習）已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．
(1)求證：PD＝PE＝PF；(2)點P在∠BAC的平分線上嗎？說明理由．




能力拓展

考法01 角平分線的性質與全等
【典例1】（2021?鹽田區(qū)校級期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點F是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF＝EF．

式1．（2022·廣西南寧市·八年級期末）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．
（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；
（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．


考法02 角平分線的性質與最值
【典例2】（2022?壽陽縣八年級期末）如圖，點在的平分線上，，于，點在上，且，若是上的動點，則的最小值是　?。?br />
變式1．（2022?岐山縣九年級二模）如圖，在中，，的平分線交于點，，為上一動點，則的最小值為　　

A．2 B． C． D．



分層提分

題組A 基礎過關練
1．（2022·綿陽市·八年級期末）如圖，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，則下列結論中錯誤的是（　?。?br />
A．PC＝PD B．OC＝OD C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
2．（2022·廣東揭陽·八年級期中）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點，則下列結論正確的是（???????）

A． B． C． D．
3．（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在中，，AD平分，交BC于點D，，，則CD的長為（???????）

A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2022·山東菏澤·八年級期中）如圖，點O在△ABC內，且到三邊的距離相等，若，則∠BOC的度數(shù)為（??????????）

A．150° B．120° C．110° D．100°
5. （2021·山東濱州市·八年級月考）如圖，是三條兩兩相交的公路，現(xiàn)需建一個倉庫，要求倉庫到三條公路距離相等，則倉庫的可能地址有（ ）處．

A． B． C． D．
6．（2022·四川成都·八年級期末）已知：如圖，D是BC上一點，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，則S△ADC＝_____（用m的代數(shù)式表示）．

7．（2021·湖北荊門·八年級期中）如圖，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，則ABD的面積為____．

8．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB；垂足為E．求證：(1)CD=BE．(2)。

9.（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在中，，點在的延長線上．
（1）尺規(guī)作圖，作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）補全圖形，取的中點，連接并延長交的平分線于點；
（3）判斷線段與的位置關系是 ，數(shù)量關系是 ．

10．（2022·湖北·荊州市八年級期中）如圖（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如圖（2），平分，，，求證：．
②探究：如圖（3）在四邊形中，，，且，求證：平分．



題組B 能力提升練
1．（2022·吉林四平·八年級期末）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B，下列四個結論正確的個數(shù)是（???）

①PA=PB?????②PO平分∠APB?????③OA=OB?????④OP垂直平分AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·河北·八年級課時練習）如圖，有三塊菜地△ACD、△ABD、△BDE分別種植三種蔬菜，點D為AE與BC的交點，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面積為96，則菜地△ACD的面積是（???????）

A．24 B．27 C．32 D．36
3．（2022·北京·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M、N．分別以點M、N為圓心，以大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點P，過點P作線段BD，交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，則下列結論①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正確的是（?????）

A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④
4．（2022·河南鄭州·八年級期末）如圖，分別平分的周長為18，，則的面積為（???????）


A．18 B．30 C．54 D．27
5．（2022·河南·八年級課時練習）如圖，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于點E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的長度為_____________________cm．


6．（2022·廣西來賓·八年級期中）如圖，AD是的角平分線，，，則的面積與的面積之比是______．

7．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中七年級期末）如圖，在中，的平分線與外角的平分線交于點E，連接，則____________．

8．（2022·河南省實驗中學八年級期末）已知：如圖1，在中，，，，是角平分線，與相交于點，，，垂足分別為，．
【思考說理】（1）求證：．
【反思提升】（2）愛思考的小強嘗試將【問題背景】中的條件“”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結論（即）仍成立．你認為小強的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請舉例說明，如果正確請僅就圖2給出證明．



9．（2022·安徽合肥·八年級期末）圖，在平面直角坐標系中，已知DA⊥x軸于點A，CB⊥x軸于點B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y軸于點E．(1)求證：DO平分∠ADC．(2)若點A的坐標是，求點B的坐標．



10．（2021·江蘇徐州·八年級期中）在“延時課堂”數(shù)學實踐活動中，同學們了解到，工人師傅常用角尺作一個已知角的角平分線．作法如下：如圖①，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺0刻度的頂點P的射線OP就是∠AOB的角平分線．
（1）聯(lián)系三角形全等的條件，通過證明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．則這兩個三角形全等的依據(jù)是 　 ??；
（2）在活動的過程，同學們發(fā)現(xiàn)用兩個全等的三角形紙片也可以作一個已知角的角平分線．如圖②所示，△CDE≌△STR，將全等三角形的一組對應邊DE、TR分別放在∠AOB的兩邊OA、OB上，同時使這組對應邊所對的頂點C、S分別落在OB、OA上，此時CE和SR的交點設為點Q，則射線OQ即為∠AOB的角平分線．你認為他們的作法正確嗎？并說明理由．






11．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．

求證：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.








題組C 培優(yōu)拔尖練
1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，從內一點 出發(fā)，把剪成三個三角形(如圖1)，邊放在同一直線上，點都落在直線上（如圖2），直線，則點是的（???????）

A．三條角平分線的交點 B．三條高的交點 C．三條中線的交點 D．三邊中垂線的交點
2．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級階段練習）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，則下列結論：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正確的是（???????）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
3．（2022·山東濟南·七年級期末）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，則DE＝4．其中正確的有(????????????)個

A．①②④ B．①②④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
4．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖所示，點D在∠BAC的角平線上，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF，BC⊥AD于點D，則下列結論中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正確的序號是______________．

5．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，過點作于，下列四個結論：①；②；③點到各邊的距離相等；④設，，則．其中正確的結論有________（填寫序號）．

6．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，和都是等邊三角形，連接與，延長交于點H．(1)證明：；(2)求的度數(shù)；(3)連接，求證：平分．

7．（2022·湖北武漢·八年級期末）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．
（2）模型應用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．
（3）類比應用：如圖3，平分，，，求證：．



8．（2021·廣東惠州·八年級期中）如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．（1）求證：CO平分∠ACD；（2）求證：OA⊥OC；（3）直接寫出AB，CD與AC的關系　 ?。?br />


9．（2022·吉林·長春市赫行實驗學校八年級階段練習）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的部分內容．
3．角平分線
回憶：我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖，是的角平分線，所示上的任意一點，作，，垂足分別為點和點，將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有：
角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
已知：如圖，是的平分線，點是上的任意一點，，，垂足分別為點和點．
求證：，請寫出定理的證明過程．


分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，即可證明．

請根據(jù)教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．
定理應用：如圖②，在四邊形中，，點在邊上，平分，平分．
（1）求證：．
（2）若四邊形的周長為24，，面積為30，則的邊的高的長為_________．


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12.3 角的平分線的性質

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