?專訓(xùn)12.2.3 用ASA（AAS）判定全等+綜合應(yīng)用
一、單選題
1．如圖，測河兩岸A，B兩點的距離時，先在AB的垂線BF上取C，D兩點，使CD＝BC，再過點D畫出BF的垂線DE，當(dāng)點A，C，E在同一直線上時，可證明△EDC△≌△ABC，從而得到ED＝AB，測得ED的長就是A，B的距離，判定△EDC≌△ABC的依據(jù)是：（ ）

A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】
由“ASA”可證△EDC≌△ABC．
【詳解】
解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故選：A．
【點睛】
本題考查了全等三角形的應(yīng)用，靈活運用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
2．如圖，為了測量池塘兩岸相對的兩點A，B之間的距離，小穎在池塘外取的垂線上兩點C，D，使，再畫出的垂線，使點E與A，C在同一條直線上，這時，可得，因此，測得的長就是的長．這里判定的依據(jù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．
【詳解】
解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD（對頂角相等），
所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法．
故選：A．
【點睛】
此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
3．如圖為了測量B點到河對面的目標(biāo)A之間的距離，在B點同側(cè)選擇了一點C，測得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】
利用全等三角形的判定方法進(jìn)行分析即可．
【詳解】
解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故選：D．
【點睛】
本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的直角頂點固定在點處，轉(zhuǎn)動直角三角形，若兩條直角邊分別與x軸正半軸交于點A，y軸正半軸交于點B，則的值為（ ）

A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】
作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，求出∠PAM=∠PBN，證明△PAM≌△PBN，推出AM=BN，OM=ON即可．
【詳解】
解：作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
因為P（8，8），所以PN=PM=8，
則四邊形PNOM是正方形，

∴PN=PM=ON=OM=8，∠NPM=∠APB=90°，
∴∠NPB=∠MPA
在△PNB和△PMA中，
，
∴△PAM≌△PBN（ASA），
則AM=BN，
∴OA+OB=OM+ON=16．
故選：C．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明△PAM≌△PBN，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．


二、填空題
5．如圖，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識畫出了完全一樣的一個三角形，他的依據(jù)是__．

【答案】
【分析】
根據(jù)圖形，未污染的部分兩角與這兩角的夾邊可以測量，然后根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．
【詳解】
解：小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識畫出了完全一樣的一個三角形，
他根據(jù)的定理是：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）．
故答案為：ASA．
【點睛】
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如圖，要測量水池寬，可從點出發(fā)在地面上畫一條線段，使，再從點觀測，在的延長線上測得一點，使，這時量得，則水池寬的長度是__m．

【答案】120
【分析】
利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】
，
，
，，
，
，
故答案為120．
【點睛】
本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．
7．如圖，在中，，平分，于，則△__△___．

【答案】
【分析】
根據(jù)角平分線定理得到，利用直角三角形HL定理證明即可．
【詳解】
證明：
平分，
，
又 ，
,
在和中，
，
．
故答案為：；．
【點睛】
本題考查角平分線性質(zhì)定理、直角三角形判定定理，能夠根據(jù)定理推導(dǎo)出相關(guān)的條件是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．則DE＝________．

【答案】1
【分析】
先證明△ACD≌△CBE，再求出DE的長，解決問題．
【詳解】
解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
故答案為：1
【點睛】
此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握再全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，AD、分別是銳角和中、邊上的高，且，，請你補充一個適當(dāng)?shù)臈l件：_________，使．

【答案】（答案不唯一）
【分析】
根據(jù)HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠B1，根據(jù)AAS推出全等即可．
【詳解】
解：∠C=∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分別是銳角△ABC和△A1B1C1中邊BC、B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中

∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B=∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案為：∠C=∠C1（答案不唯一）．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能熟練地掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．

三、解答題
10．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．

【答案】見解析
【分析】
根據(jù)已知條件證明即可得證
【詳解】
BE＝CF

即
在和中

（ASA）
∠A＝∠D
【點睛】
本題考查了三角形全等的判定，運用角邊角直接證明三角形全等，證明是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在中，點是邊的中點，過點作直線使，交的延長線于點．試說明的理由．

解：因為（已知），
所以 ( )
因為點是邊的中點，
所以
在和中，

所以( )
所以( )
【答案】；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；對頂角相等；；；全等三角形對應(yīng)邊相等
【分析】
把每一步的因果關(guān)系加以識別，即可運用相關(guān)的結(jié)論填寫解題過程和依據(jù)．
【詳解】
解：因為（已知），
所以∠E（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
因為點是邊的中點，
所以BD=CD．
在和中，
（對頂角相等）
所以（AAS）
所以（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
【點睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)、線段的中點的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟知上述各個知識點是解題的基礎(chǔ)，根據(jù)每一步的因果關(guān)系對出現(xiàn)的相關(guān)的角或線段加以認(rèn)真識別，是解題的關(guān)鍵．
12．已知：在四邊形中，，．求證：≌．
小華證明過程如下框：
證明：∵，∴，
又∵，∴，
又∵，∴≌

小華的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”，若錯誤，請寫出你的證明過程．
【答案】不正確，證明見解析
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)得到和，再根據(jù)ASA即可證明≌．
【詳解】
證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴≌(ASA)．
【點睛】
此題主要考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明內(nèi)錯角相等是解答此題的關(guān)鍵．
13．如圖，是的邊上一點，， 交于點，．
（1）求證：≌；
（2）若，，求的長．

【答案】（1）證明見詳解；（2）1．
【分析】
（1）根據(jù)證明即可；
（2）根據(jù)（1）可得，即由，根據(jù)求解即可．
【詳解】
（1）證明：，
，
在和中，

；
（2）由（1）得

∴．
【點睛】
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．
14．風(fēng)箏起源于中國，至今已有2300多年的歷史．如圖，在小明設(shè)計的“風(fēng)箏”圖案中，已知，，．求證：．

【答案】見解析．
【分析】
由“ASA”可證△BAC≌△DAE，可得AC＝AE．
【詳解】
∵，
∴，
即，
在和中，
.
∴，
∴．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明∠BAC＝∠DAE是本題的關(guān)鍵．
15．如圖，已知AB=AD，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE．
求證：BC=DE．

【答案】見解析
【分析】
由題意，先證明∠BAC=∠DAE，然后證明△ABC≌△ADE，即可得到結(jié)論成立．
【詳解】
證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．
即∠BAC=∠DAE．
∵AB=AD，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE．
∴BC=DE．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明．
16．如圖，DE=CA，AB//DE，∠1=70°，∠D=110°，求證： △ABC≌△EAD．

【答案】證明見詳解．
【分析】
由∠1＝70°得∠ACB＝110°，得∠D=∠ACB；再由AB∥DE，證得∠CAB＝∠E，再結(jié)合已知條件DE＝CA，可利用ASA證得△ABC≌△EAD．
【詳解】
證明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(ASA)．
【點睛】
本題是全等三角形證明的基礎(chǔ)題型，在有些條件還需要證明時，應(yīng)先把它們證出來，再把條件用大括號列出來，根據(jù)全等三角形證明的方法判定即可．
17．如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC＝CE，∠B＝∠D．求證：．

【答案】證明見解析 ．
【分析】
首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠E，再加上條件AC=CE，∠B=∠D可以利用AAS定理證明兩個三角形全等．
【詳解】
證明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E．
∵在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【點睛】
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
18．如圖，點A，C，D，E在同一條直線上，BC⊥AE，F(xiàn)D⊥AE，ABEF，且AB＝EF．
（1）求證：△ABC≌△EFD．
（2）若AE＝8，CD＝2，∠A＝45°，求AB的長．

【答案】(1)證明見解析；(2)．
【分析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后利用AAS證明即可；
(2)由，得到 ，證明為等腰直角三角形，即可求得．
【詳解】
(1)∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
(2)∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．已知和的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，試判斷兩三角形面積的大小關(guān)系，并說明理由．

【答案】相等，理由見解析
【分析】
過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點D作DH⊥EF，垂足為H，證明△ABG≌△DEH，得到AG=DH，根據(jù)三角形面積公式即可判斷．
【詳解】
解：如圖，過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點D作DH⊥EF，垂足為H，
則∠AGB=∠DHE=90°，
∵∠DEF=130°，
∴∠DEH=50°=∠B，
由圖可知：AB=DE=5，
∴△ABG≌△DEH（AAS），
∴AG=DH，
∵，，BC=EF=4，
∴．

【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出三角形的高，通過全等三角形的性質(zhì)證明高相等．
20．如圖，中，，是邊上的高，是邊上的高，．

求證：（1）；
（2）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】
（1）先證∠EAF=∠ECB，再結(jié)合∠AEF=∠CEB=90°且AE=CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結(jié)論．
【詳解】
證明：（1），
，
，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
；
（2），
，
，
，．
．
【點睛】
此題考查了余角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊上的中線相等、對應(yīng)邊上的高線相等、對應(yīng)角的角平分線相等．
21．填空：（將下面的推理過程及依據(jù)補充完整）
已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FGBC，交直線AB于點G．如圖，且∠ABC＝45°．
求證：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；
①證明：∵AD，BE為高
∴∠ADB＝∠BEC＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠BAD＝∠　 ?。?5°
∴AD＝　 ??；
∵∠BEC＝90°
∴∠CBE+∠C＝90°（ 　 　）
又∵∠DAC+∠C＝90°
∴∠CBE＝∠DAC（ 　 ?。?br /> 在△FDB和△CDA中，
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，
AD＝BD
∠CBE＝∠DAC
∴△FDB≌△CDA（ 　 　）
②∵△FDB≌△CDA，
∴DF＝DC（ 　 　）
∵GFBC
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，（ 　 　）
∴∠AGF＝∠　 　，
∴FA＝FG；
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．

【答案】①見解析；②見解析
【分析】
①利用等角對等邊可得AD=BD，根據(jù)余角的性質(zhì)證明∠CBE=∠DAC，最后利用ASA證明△FDB≌△CDA；
②由△BDF≌△ADC可證得DF=DC，根據(jù)AD=AF+FD，可得AD=AF+DC；再由GF∥BD，∠ABC=45°，可證得AF=GF，最后得出FG+DC=AD．
【詳解】
解：①證明：∵AD，BE為高．
∴∠ADB=∠BEC=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°．
∴AD=BD．
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°（三角形的內(nèi)角和定理）．
又∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC（同角的余角相等）．
在△FDB和△CDA中，
，
∴△FDB≌△CDA（ASA）．
②∵△FDB≌△CDA，
∴DF=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=45°（兩直線平行，同位角相等）．
∴∠AGF=∠FAG．
∴FA=FG．
∴FG+DC=FA+DF=AD．
【點睛】
本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)的運用，解題時注意：利用三角形全等證明線段相等是經(jīng)常使用的重要方法．
22．如圖，，AD是內(nèi)部一條射線，若，于點E，于點F．求證：．

【答案】見詳解
【分析】
根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，即可得．
【詳解】
證明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
【點睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在中，，，點是內(nèi)部一點，分別過、兩點作，垂足分別為點、，求證：

【答案】見解析
【分析】
由全等三角形的性質(zhì)可得BE=DC，AD=CE，即可求解．
【詳解】
解：證明：，，
，
．
，
，
在和中，
，
；
，
，，
．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
24．如圖，四邊形中，，E為的中點，連結(jié)并延長交的延長線于點F．

（1）求證：；
（2）連結(jié)，當(dāng)時，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】
（1）利用AAS即可證明；
（2）由≌可得，，從而證明≌，得到，可得AB．
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
∵為CD中點，
∴，
在和中，
，
∴≌（AAS）．
（2）由（1）中≌，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴，
而，
∴．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AAS和SAS證明三角形全等．
25．如圖，在中，，點D是邊上的一點，于D，交于M，且，過點E作分別交于點．

（1）試說明：；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）65°
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠B=∠EFD，然后依據(jù)AAS即可證得△ABC≌△EFD；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠AMD，然后根據(jù)對頂角相等即可求得．
【詳解】
解：（1）∵DE⊥AB于D，
∴∠EDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠EDF，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFD，
在△ABC與△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）∵∠EDF=90°，
∴∠ADM=180°-∠EDF=90°，
在△ADM中，∠A+∠AMD+∠ADM=180°且∠A=25°
∴∠AMD=180°-∠A-∠ADM=65°，
∴∠EMN=∠AMD=65°．
【點睛】
本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，對頂角相等的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，在四邊形中，，點為對角線上一點，，且．

（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)平行得出，再根據(jù)ASA證明即可
（2）根據(jù)全等得出，再計算∠DBC的度數(shù)，計算即可
【詳解】
（1）∵，
∴．
∵，．
∴．
（2）∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定、角的和差關(guān)系，正確使用角的和差關(guān)系是關(guān)鍵
27．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上．
（1）求證：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面積等于24，求DE的長．

【答案】（1）證明見解析，（2）
【分析】
（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，則有∠ACB＝∠AED，聯(lián)合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可證．
（2）由△ACD≌△AED，證得DC＝DE，然后根據(jù)S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
【詳解】
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面積等于24，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)．
28．如圖，在中，、是邊上兩點，且，，求證：．

【答案】見解析
【分析】
先過點作交于點，證明出和全等，得出，
再根據(jù)三角形平角是得出，已知，根據(jù)“角角邊”證明和全等即可．
【詳解】
證明：過點作交于點，
在和中，
，
，
，
，，
且，
，
在和中，
，
．

【點睛】
本題主要考查對全等三角形判定定理的理解和掌握，要求考生熟練掌握全等三角形的判定定理并靈活運用．
29．如圖，在中，高、相交于點H，連接并延長到G，使，與相交于F，連接，若，求證：．

【答案】見解析
【分析】
先利用AAS證明△BHD≌△ACD，得到BH=CA，再利用SAS證明△ABH≌△GCA，從而可得AH=AG．
【詳解】
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠2+∠BCA=90°，∠4+∠BCA=90°，
∴∠2=∠4，
在△BHD和△ACD中，
，
∴△BHD≌△ACD（AAS），
∴BH=CA，
∵H是高AD和BE的交點，
∴CF⊥AB，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠1+∠BAC=90°，∠3+∠BAC=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABH和△GCA中，
，
∴△ABH≌△GCA（SAS），
∴AH=AG．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形高的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．
30．在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E，

（1）當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，顯然有：（不必證明）；
（2）當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD
【分析】
（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問題；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD．
【詳解】
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如圖3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD．
【點睛】
此題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個探究性題目，對于學(xué)生的能力要求比較高．

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12.2 三角形全等的判定

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