【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握角的平分線的性質(zhì)的逆定理；提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問題的能力.
2．通過觀察、猜想、論證等過程，得到結(jié)論：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
重點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理證明.
難點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理應(yīng)用.
【學(xué)習(xí)過程】
一、自主學(xué)習(xí)
【思考】如圖1，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，是他到公路，使它到公路、鐵路的距離相等.離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1:20000）？
二、合作探究
【猜想與證明】如圖2，在的內(nèi)部有一點(diǎn)，,
猜想與有何關(guān)系？并證明你的猜想.
【發(fā)現(xiàn)】
通過以上的探究再觀察圖形，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？能用自己的話說說你的發(fā)現(xiàn)嗎？
.
請(qǐng)閱讀課本P21中間部分的內(nèi)容，你能用更科學(xué)、更準(zhǔn)確的描述你的發(fā)現(xiàn)嗎？
【歸納】 ．
【學(xué)法指導(dǎo)】定理的應(yīng)用格式：
∵,
∴.
【應(yīng)用】根據(jù)上述結(jié)論，你知道這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處了嗎？
例題探究：
如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P．
求證：（1）點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．
(2)P點(diǎn)在∠BAC的平分線上


嘗試應(yīng)用
1、判斷，如圖，若QM =QN，則OQ 平分∠AOB； ( )

1題圖 2題圖
判斷，如圖，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，則OQ平分∠AOB . （ ）
3、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF.
求證：AD是△ABC的角平分線.

4、 如圖，某規(guī)劃局要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，并且離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處？（請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出它的位置，比例尺為1︰20000）

五、補(bǔ)償提高
5、如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等

【學(xué)后反思】


參考答案：
例題探究：
證明：（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
垂足為D、E、 F．
∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上．
∴PD=PF．
同理PE=PF．
∴PD=PE=PF．
即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．
由（1）可知PD=PE．
因?yàn)镻D⊥AB，PE⊥BC，
所以P點(diǎn)在∠BAC的平分線上
嘗試應(yīng)用：
1、錯(cuò)
2、錯(cuò)
3、證明: ∵ DE⊥AB，
DF⊥AC
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD＝CD
BE＝CF
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴ DE=DF
又 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ AD是△ABC的角平分線
解：如圖，作夾角的角
平分線OC
截取OD=2.5cm ,
D即為所求。
5、解：過點(diǎn)P作PF⊥AB、PG⊥BC、PH⊥AC
∵ BP是△ABC的∠ABC的外角的平分線
∴PF=PG
又∵CP是△ABC的∠ACB的外角的平分線
∴PG=PH
∴PF=PG=PH
∴點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA
所在直線的距離相等。

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

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