人教版八年級上冊12.3 角的平分線的性質(zhì)學案設計-學案下載-教習網(wǎng)

（1）知識與技能目標：會作一個角的平分線，并掌握角平分線的性質(zhì)及判定；
（2）過程與方法目標：綜合運用角的平分線的性質(zhì)及判定解決相關(guān)問題；
（3）情感態(tài)度與價值觀：通過作三角形的角平分線，了解三角形三條角平分線交于一點的事實；
教學重難點
教學重點：角平分線的性質(zhì)及其應用
教學難點：靈活應用兩個性質(zhì)解決問題
知識點一：作已知角的平分線
用尺規(guī)作圖法作已知角的平分線的步驟：
以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于M、N兩點；
分別以點M,N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C；
畫射線OC.
則射線OC就是∠AOB的平分線.
提醒：①作已知角的平分線的方法很多，主要有折疊法和尺規(guī)作圖法，尺規(guī)作圖法是常用的方法.
②用尺規(guī)作圖法作已知角的平分線是依據(jù)“SSS”定理構(gòu)造一對全等的三角形.
③在上面的步驟（2）中，若以小于MN的長為半徑畫弧時，兩弧沒有交點；以等于MN的長為半徑畫弧時，兩弧雖有交點，但交點不明顯，不利于下一步的作圖. 所以必須要求“以大于MN的長為半徑”.
例1.如圖，已知∠AOB，求作一個角等于∠AOB的補角，并作出這個補角的平分線.
變式1.如圖，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠A0B,作法的合理順序是：①作射線0C；②以O為圓心，適當長為半徑畫弧交0A,OB于D,E；③分別以D,E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點C.
A.① ② ③ B.② ① ③ C.② ③ ① D.③ ② ①
變式2.觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說法錯誤的是（）
A．OE是∠AOB的平分線 B．OC=OD
C．點C、D到OE的距離不相等 D．∠AOE=∠BOE
知識點二：角的平分線的性質(zhì)
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
書寫格式：如圖所示，∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）
提醒:1.該性質(zhì)可以直接作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再通過證全等三角形來推導.
2.這一定理的條件是“點在角的平分線上”，結(jié)論是“這一點到角的兩邊的距離相等”.
3.利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.
例1.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PD=6，則點P到邊OB的距離為（）
A.6 B.5 C.4 D.3
變式1.如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，則點D到AB的距離是（）
A．9B．8C．7D．6
變式2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列結(jié)論：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正確的是（）個．
A．1B．2C．3D．4
知識點三：角的平分線的判定
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
書寫格式：如圖所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OP是∠AOB的平分線（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）
提醒：1.這一定理的條件是“角的內(nèi)部的點到角的兩邊的距離相等”，結(jié)論是“該點在角的平分線上”，它可以證明兩個角相等.
2.判定角的平分線必須同時具備“距離”和“相等”這兩個條件，缺一不可.
3.“角的平分線的判定”與“角的平分線的性質(zhì)”的題設和結(jié)論正好相反.
例1.到三角形三邊距離相等的點是（）
A.三條中線的交點
B.三條高線的交點
C.三條角平分線的交點
D.不能確定
例2.三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應建的位置是（）
A．三條高線的交點B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點D．三邊垂直平分線的交點
變式1.如圖，直線l、l′、l″表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）
一處B．二處C．三處D．四處
變式2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD=2，AB=8，則△ABD的面積是（）
A．6B．8C．10D．12
知識點四：證明幾何命題
一般情況，證明一個幾何命題，可按以下步驟進行：
(1)明確命題中的已知和求證；
(2)根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；
(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.
提醒：抽象的幾何問題有時以純文字的形式也能得到證明，但為了直觀方便地展示說理過程，我們應把簡練、抽象的文字命題具體化、圖形化、字母化處理，這也是我們運用數(shù)學解決問題的一個重要方法.
例1.求證:三角形一邊的兩端點到這邊的中線或中線延長線的距離相等.
變式1.已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．試說明：PM=PN．
變式2.已知：△ABC內(nèi)部一點O到兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
求證：AB=AC．
拓展點一：角的平分線的性質(zhì)的綜合應用
例1.如圖所示,在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求三角形DEB的周長.
例2.如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的長．
變式1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC于點E，BF∥DE交CD于點F．
求證：DE=BF．
例3.在ΔABC中，AB=4,AC=3,AD是ΔABC的角平分線，則ΔABD與ΔACD的面積之比是______
答案：4:3
解析：分別作出ΔABD與ΔACD的邊AB、AC邊上的高DE、DF,又AD是ΔABC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF,即ΔABD與ΔACD的邊AB、AC邊上的高相等，再由面積公式可得ΔABD與ΔACD的面積之比為底邊AB、AC之比，故填4:3.
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
拓展點二：角的平分線的判定的綜合應用
求角度
例1.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一點，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=38°，求∠DBC的度數(shù)．
證明角相等
例2.如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2.求證：∠BAD=∠CAD.
拓展點三：利用面積解決有關(guān)角平分線的問題
例1.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，
CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求AB的長．
變式1.如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，求AB的長．
拓展點四：實際應用問題
例1.如圖，三條公路L1，L2，L3兩兩相交于A,B,C三點，現(xiàn)計劃修建一個超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？你能在圖中找出來嗎？