?過關(guān)卷12.3 角平分線的性質(zhì)
一、選擇題（每小題3分，共36分）
1．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點C到射線OA的距離為（ ）

A．9 B．6 C．3 D．4.5
【答案】C
【分析】
作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM，即可得答案．
【詳解】
解：過點C作CN⊥OA，
∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，
∴S△COM=，
∴，
∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，
∴CN=CM=3．

故選C．
【點睛】
本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵．
2．一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到三條邊的距離都相等，涼亭的位置應(yīng)造在（ ）
A．的三條角平分線的交點 B．的三條高所在直線的交點
C．的三條中線的交點 D．的三邊中垂線的交點
【答案】A
【分析】
直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，
∴要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在△ABC?三條角平分線的交點．
故選：A．
【點睛】
本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，直線AC∥BD，AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，那么∠BAO與∠ABO之間的大小關(guān)系一定為（ ）

A．互余 B．相等 C．互補 D．不等
【答案】A
【解析】
試題解析：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
故選A.
考點：1.平行線的性質(zhì)；2.余角和補角．
4．如圖，點O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分線的交點，已知△ABC的面積是12，周長是8，則點O到邊BC的距離是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
過點O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：OE＝OF＝OD然后根據(jù)△ABC的面積是12，周長是8，即可得出點O到邊BC的距離．
【詳解】
如圖，過點O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA.

∵點O是∠ABC，∠ACB平分線的交點，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故選：C
【點睛】
此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確表示出三角形面積是解題關(guān)鍵．
5．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，，，則的面積等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
【詳解】
解：過E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，DE=1，
∴DE=EF=1，
∵BC=4，
∴
故選:B
【點睛】
本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
6．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，于點E，于點F，且BC=4，DE=2，則△BCD的面積是（ ）

A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【分析】
根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DF=DE；最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【詳解】
：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴；
故答案為：A．
【點睛】
此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
7．△ABC中，AB=AC，在△ABC內(nèi)求作一點O，使點O到三邊的距離相等．甲同學(xué)的作法如圖1所示，乙同學(xué)的作法如圖2所示，對于兩人的作法，下列說法正確的是（　?。?br /> ?
A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．乙對，甲不對
【答案】A
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到的垂直平分線平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷甲同學(xué)的作法正確；同時也可判斷乙同學(xué)的作法正確．
【詳解】
甲同學(xué)作了∠ABC的平分線和底邊BC的垂直平分線，因為AB=AC，所以BC的垂直平分線平分∠BAC，則點O為△ABC內(nèi)角的平分線的交點，所以點O到三邊的距離相等，所以甲同學(xué)的作法正確；
乙同學(xué)作了∠ABC和∠ACB的平分線，則點O到三邊的距離相等，所以乙同學(xué)的作法正確．
故選A．
【點睛】
本題考查了作圖：復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．
8．如圖，AD是ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DM，ADM和AED的面積分別為58和40，則EDF的面積為（　?。?br />
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】
過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF＝DH，再利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DMH全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△DEF＝S△DMH，然后列式求解即可．
【詳解】
解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，
∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），
∴S△DEF＝S△DMH，
∵△ADM和△AED的面積分別為58和40，
∴△EDF的面積＝×（58﹣40）＝9．
故選：C．
【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在中，，，以點為圓心，小于的長為半徑作弧，分別交，于兩點；再分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點.若的面積為9，則的面積為（ ）

A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)作圖方法可知是的角平分線，得到，已知，由等角對等邊，所以可以代換得到是等腰三角形，由30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積公式，可知兩個三角形等高，用底邊之間的關(guān)系式來表示兩個三角形的面積的關(guān)系，即可求出結(jié)果.
【詳解】
，，
，
根據(jù)作圖方法可知，是的角平分線，
，
，
點在的中垂線上，
在，，
，
，
又，
，
，
故選：A
【點睛】
根據(jù)作圖的方法結(jié)合題目條件，可知是的角平分線，由等角對等邊，所以是等腰三角形，由于所求三角形和已知三角形同高，底滿足，所以三角形面積是三角形的，可求得答案.
10．已知△ABC,兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對應(yīng)直角邊分別在AB,AC上，且這組對應(yīng)邊所對的頂點重合于點M，點M一定在（ ）.

A．∠A的平分線上 B．AC邊的高上 C．BC邊的垂直平分線上 D．AB邊的中線上
【答案】A
【分析】
根據(jù)角平分線的判定推出M在∠BAC的角平分線上，即可得到答案．
【詳解】
如圖，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分線上，
故選：A．
【點睛】
本題主要考查對角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
11．如圖，的外角的平分線相交于點，于，于，下列結(jié)論：（1）；（2）點在的平分線上；（3），其中正確的有 （ ）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】
過點P作PG⊥AB，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，可判斷（1）（2）正確；由，，得到，可判斷（3）錯誤；即可得到答案．
【詳解】
解：過點P作PG⊥AB，如圖：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正確；
∴點在的平分線上；故（2）正確；
∵，
又，
∴；故（3）錯誤；
∴正確的選項有2個；
故選：C．
【點睛】
本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)進行解題．
12．如圖，是的角平分線，，分別是，的高，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，得到PM=PN，由HL證明△APM≌△APN，即可判斷A；由三角形的面積公式，得到，即可判斷B；由三角形的面積公式，得到，即可判斷C；由，即可判斷D．
【詳解】解：如圖：作AD⊥BC與點D，

∵是的角平分線，，分別是，的高，
∴PM=PN，
∵∠AMP=∠ANP=90°，AP為公共邊，
∴△APM≌△APN，
∴；故A正確；
∵，，
∴，
∵PM=PN，
∴，
∴，故B正確；
∵，故C正確；
∵，
∴，故D錯誤；
故選：D．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和三角形的面積公式進行解題．
二、填空題（每小題3分，共18分）
13．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，CD=2，DE⊥AB于E，則等于_____________．

【答案】6
【分析】
由題意根據(jù)角平分線上一點到角兩邊的距離相等得出CD=DE，進而利用三角形面積公式求出即可．
【詳解】
解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，
∴CD=DE=2，
∵AB=6，
∴．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查角平分線相關(guān)，熟練掌握角平分線上一點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AB＝8 cm，AC＝6 cm，S△ABD∶S△ACD＝________．

【答案】4:3
【分析】
利用角平分線的性質(zhì)，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的邊AC的高相等，根據(jù)三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對應(yīng)邊之比；
【詳解】
∵ AD是△ABC的角平分線，
∴ 設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的邊AC的高分別為，，
∴ =，
∴△ABD與△ACD的面積之比=AB：AC=8：6=4：3，
故答案為：4：3．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
15．若點在第二象限的角平分線上，則_________．
【答案】
【分析】
第二象限角平分線上點的坐標互為相反數(shù)，據(jù)此列出關(guān)于a的方程求解．
【詳解】
∵在第二象限角平分線上，
∴，
解得，．
故答案為：．
【點睛】
此題考查象限角平分線上點坐標特點，一、三象限角平分線上點的縱橫坐標相等；二，四象限角平分線上點的縱橫坐標互為相反數(shù)．
16．在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分線交BC于點D,且BD∶DC=5∶3,則D到AB的距離為____cm.
【答案】6
【分析】
利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知D到AB的距離為等于CD的長度，求CD長即可．
【詳解】
∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分線交BC于D，
∴CD就是D到AB的距離，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距離為6cm.
故答案為6.
【點睛】
本題考查的知識點是角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握角平分線的性質(zhì).
17．有三條兩兩相交的公路，要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等，那么加油站可建的地點有_________________個．

【答案】4
【分析】
根據(jù)“要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等”可知加油站需建在題目所給的圖形的角平分線的交點上，故問題得解．
【詳解】
解：
如圖所示作出角的平分線包括外角的角平分線，共有4個交點，所以由三條兩兩相交的公路，要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等，則加油站需滿足在角平分線的交點上，故可建的地點有4個．
故答案為4．
【點睛】
本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，點在內(nèi)部，且到三邊的距離相等，若，則__________．

【答案】80°
【分析】
由條件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形內(nèi)角和可求得∠A．
【詳解】
∵點O到△ABC三邊的距離相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-2（∠OBC+∠OCB）
=180°-2×（180°-∠BOC）
=180°-2×（180°-130°）
=80°，
故答案為：80°．
【點睛】
本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（19題6分，其余每題8分，共46分）
19．如圖，的平分線與的外角平分線相交于點，連接．求證：是的外角平分線．

【答案】見解析．
【分析】
作交的延長線于，于，于，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到，，繼而根據(jù)角平分線的判定解題．
【詳解】
證明：作交的延長線于，于，于，
平分、平分,
，，
，
又，，
是的外角平分線．

【點睛】
本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分線，交BC于點E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）首先以A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，交AC、AB于N、M，再分別以N、M為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，再畫射線AQ交CB于E；
（2）依據(jù)證明得到，進一步可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖，為所作的平分線；

（2）證明：如圖．連接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【點睛】
此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是得到．
21．如圖，在中，，點D在BC邊上，連接AD，點E、F分別為AB邊，AC邊上的點，連接DE、DF，使得DA平分∠EDF，且DE=DF，過點D作DG⊥AB于點G．
（1）若DFAB，求證：AE=DE；
（2）求證：DG=CD．

【答案】見詳解
【分析】
（1）先利用平行線性質(zhì)證得，再利用角平分線的定義證得，利用等量代換可得，即可得到答案AE=DE；
（2）先證，得，即可利用角平分線的性質(zhì)得到答案．
【詳解】
解：（1）∵
∴
∵DA平分∠EDF
∴
∴
∴AE=DE．
（2）∵，DE=DF，AD=AD
∴
∴
∵，DG⊥AB
∴DG=CD．
【點睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系．
22．如圖，四邊形中，，點為的中點，且平分，，垂足為點

（1）求證：平分；
（2）求證：；
（3）判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】
（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，同理求出，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；
（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，然后證明即可．
【詳解】
證明：∵，平分，OE⊥AC，
∴.
∵點為的中點，
∴，
∴，
∴平分.
證明：在和中，
，
∴，
∴.
同理求出，
∴，
∴.
解：.
理由如下：
∵，
∴.
同理可得.
∵，
∴．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行分析．
23．教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容.

請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程.
定理應(yīng)用：
如圖②，在四邊形中，，點在邊上.平分，平分.

求證：.
【答案】證明見解析.
【分析】
由角角邊易證，可證明角平分線的性質(zhì)定理；
由角平分線的性質(zhì)定理，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，通過證，得出BE=CE這一結(jié)論.
【詳解】
如圖①.

∵是的平分線，∴.
∵，，
∴.
∵，∴.
∴.
定理應(yīng)用：
如圖②，過點作于，于，于，

則.
∵平分，平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
【點睛】
本題考查角平分線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用，遇到角平分線，向角兩邊作垂線是常用的輔助線.
24．探索角的平分線的畫法．
（1）畫法1：利用直尺和圓規(guī)
請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出的平分線；（不寫畫法不需證明，保留作圖痕跡）

（2）畫法2：利用等寬直尺．
如圖，將一把等寬直尺的一邊依次落在的兩條邊上，再過另一邊分別畫直線，兩條直線相交于點O．畫射線，則射線是的平分線．這種角的平分線的畫法依據(jù)的是______．

A． B． C． D．
（3）畫法3：利用刻度尺
已知：如圖，在的兩條邊上分別畫，，連接、，交點為點O，畫射線．
求證：是的平分線．

（4）畫法4：利用你手里帶有刻度的一塊直角三角尺，設(shè)計一種與上述畫法不同的角的平分線的畫法．請在圖中畫出的平分線，寫出畫法，并加以證明．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析；（4）見解析
【分析】
（1）根據(jù)要求作出圖形即可
（2）根據(jù)利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
（3）通過三次全等證明即可．
（4）根據(jù)證明，可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖①中，射線即為所求．

（2）如圖②中，是等寬直尺，
點到兩邊的距離相等，根據(jù)可以利用全等三角形的性質(zhì)證明是角平分線．
故選D．
（3）如圖③中，

在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
（4）如圖，在的兩邊上截取，利用直角尺作，，交于，作射線，射線即為所求．

理由：在和中，
，
，
，
射線平分．
【點睛】
本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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