自學(xué)課本內(nèi)容





班級(jí)：


學(xué)生：


時(shí)間：






































我的疑惑：
































我的自學(xué)體會(huì)：




















12.3 角平分線的性質(zhì)


第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)


學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.


2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.


重點(diǎn)：掌握角的平分線的性質(zhì)定理，用直尺和圓規(guī)作角的平分線.


難點(diǎn)：角平分線定理的應(yīng)用.


自主學(xué)習(xí)





一、知識(shí)鏈接


1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？





2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，則∠ =∠ .


過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，則圖中線段 的長度表示點(diǎn)D到BC的距離.





二、新知預(yù)習(xí)


1.OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn)，


操作測量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：觀察測量結(jié)果,猜想


線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論


下面四個(gè)圖中,點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上,則PD＝PE的是 （ ）

















A B C D


3.猜想：


角平分線的性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到兩邊的 相等.











三、我的疑惑


______________________________________________________________________________________________________________________________________________________


課堂記錄與反思


課堂探究





要點(diǎn)探究


探究點(diǎn)1：角平分線的尺規(guī)作圖


活動(dòng)1：如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE, AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?

















活動(dòng)2：已知∠AOB，類比平分角儀器的原理，用尺規(guī)作∠AOB的平分線．并書寫主要步驟.








提示：


(1)已知什么？求作什么？


(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，


怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?


(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？


(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？








注意:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握.





針對訓(xùn)練


已知：平角∠AOB.


求作：平角∠AOB的角平分線.





探究點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)


畫一畫：如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)


P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？


在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.








證明結(jié)論：


已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,


垂足分別為D,E.


求證：PD=PE.





要點(diǎn)歸納：


角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的 相等.


應(yīng)用所需要的條件：（1） （2） （3）


幾何語言：


∵OP 是∠AOB的平分線，


∵ PD⊥OA,PE⊥OB，


∴


我的問題與不足







































































典例精析


例1: 已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,


DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.


求證：EB=FC.














方法總結(jié)：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到對應(yīng)線段相等，再利用這個(gè)條件證明我們需要證明的兩個(gè)三角形全等.


例2:如下左圖,AM是∠BAC的平分線,點(diǎn)P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=______cm..





變式：如上右圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4, AB=14.


（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.


（2）求△APB的面積.


（3）求△PDB的周長.








方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．





針對訓(xùn)練


1.如圖1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）


A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD

















2.如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離DE是（ ）


A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm


3.如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ）


A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm


二、課堂小結(jié)


屬于基本作圖，必須熟練掌握


尺規(guī)作圖








一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；





角平分線








性質(zhì)定理


二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；





兩相等：兩條垂線段相等











過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段





添加輔助線








當(dāng)堂檢測





如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60°，則 ∠EBF= 度，BE= .














第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖


2.如圖，△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .


3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（ ）


A.SSS B.ASA


C.AAS D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等


4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是( )


A．6 B．5 C．4 D．3


5.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與 ∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.











6.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).


求證：CE＝CF.











我的問題與不足





PD[來源:]
PE
第一次
第二次
第三次[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本： 人教版

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