高中數(shù)學人教A版 (2019)必修第二冊第六章平面向量及其應用6.2 平面向量的運算隨堂練習題-試卷下載-教習網

?1. 已知兩個單位向量，的夾角為，則，的最小值為（）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義化簡，再根據二次函數(shù)知識可求得結果.
【詳解】
，，和的夾角為，
所以，
所以，
∴當時，取最小值.
故選：B
2. 若的外接圓半徑為2，且，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設的外接圓圓心為O，由題設可知為正三角形，則，，由，知，計算可求解.
【詳解】
如圖設的外接圓圓心為O，

的邊，的外接圓半徑為2，
為正三角形，且，
則

，，
故選：A
2．半徑為的圓上有三點、、滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根據平面向量加法的幾何意義結合圓的幾何性質可以確定四邊形是菱形，結合菱形的性質、圓的幾何性質、平面向量運算法則進行求解即可.
【詳解】
如圖，與交于點，由得：

四邊形是菱形，且，則，，
由圖知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵點是圓內一點，則，∴.
故選：A．
【點睛】
關鍵點點睛：根據及半徑相等得到四邊形是菱形，以及運用平面向量的運算的性質是解題的關鍵.
2．在平行四邊形中，，，，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先用基底，表示，再利用向量數(shù)量積公式表示，利用的范圍求數(shù)量積的取值范圍.
【詳解】
因為在平行四邊形中，，，，，所以.因為是邊的中點，所以.又點在邊上，設（），則，所以.又，所以，故的取值范圍是.
故選:B.
【點睛】
關鍵點點睛：本題關鍵點是對動點引入參數(shù)，設（），這樣所求數(shù)量積就可表示為關于的函數(shù)，進而求得其范圍.
4．已知，為單位圓上的兩點，且滿足，點為圓上一動點，則的取值范圍是（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意，化簡整理可得，設的中點為，與的夾角為，利用數(shù)量積公式，結合的范圍，即可求得答案.
【詳解】
如圖，圓的半徑為1，且，易得．

由題意知
．
設的中點為，則，且，
設與的夾角為，
則
．
又因為，所以的范圍為．
故選：B

7．在中，，，動點位于直線上，當取得最小值時，向量與的夾角余弦值為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
計算出，設，將表示為的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質求出的最小值及其對應的的值，求出、，利用平面向量數(shù)量積可求得向量與的夾角余弦值.
【詳解】
，即，，
設，，，
所以，
，
當時，取得最小值，此時，
，
所以，，則.
故選：C.
【點睛】
關鍵點點睛：本題解答的關鍵在于以下兩點：
（1）根據已知條件建立關于的二次函數(shù)；
（2）利用二次函數(shù)確定最值時要注意求出對應的的值.
3．已知，，是空間單位向量，且滿足，若向量.則在方向上的投影的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據投影的計算公式，將投影化為關于的函數(shù)，然后再求函數(shù)的最大值即可.
【詳解】
因為，
∴，
，
∴①，
因為要求最大值，故不妨取，
令，則，
代入①式得②，
令，
故②式小于等于.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查了平面向量的綜合應用，以及投影的概念和計算方法.屬于中檔題.
6．已知，，則的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題中條件，由向量線性運算的幾何意義，求出，，得到與取得最大值時，與恰好反向，再由向量數(shù)量積的計算公式，即可求出結果.
【詳解】
因為，根據向量線性運算的幾何意義，可得，，

即，，
所以，，
當時，由可得，即，
所以，因為向量夾角大于等于且小于等于，所以，故；
當時，由可得，即，
所以，故，所以，
此時與恰好反向，且模都取得最大值，所以的最小值是.
故選：B.
【點睛】
思路點睛：
求解向量數(shù)量積最值問題，一般需要建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標表示出向量的?shù)量積，將問題轉化為求函數(shù)最值問題進行求解；有時也可根據向量的線性運算的幾何意義，確定向量的模的最值以及向量的夾角，進行求解.
8．已知在中，，，點沿運動，則的最小值是（）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】
當點在上運動時，設，得到，根據向量的數(shù)量積，化簡得到，求得取得最小值；當點在上運動時，設，得到，化簡得到，求得最小值.
【詳解】
在中，，，可得，
當點在上運動時，設，則，所以，
又因為，所以，所以，
所以，
當時，取得最小值.
當點在上運動時，設，則，
所以，
又因為，所以，所以，
所以，
當時，取得最小值，
綜上可得，的最小值是.
故選：A.
【點睛】
解決向量在平面幾何中的應用問題的兩種方法：
（1）坐標法，把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示出來，這樣就能進行相應的代數(shù)運算，從而使問題得到解決；
（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據向量的運算法則?運算律和性質求解.
9．在直角中，，，是線段的中點，為線段上的動點，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
設，用表示出，利用二次函數(shù)的性質求出最小值.
【詳解】
是直角的斜邊中點，，且，
設，則，故，
當時，取得最小值.
故選：C.
1．已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作，，，取的中點，連接，分析出為等邊三角形，可求得，計算得出，利用圓的幾何性質求出面積的最大值，即可得出結果.
【詳解】
如下圖所示，作，，，取的中點，連接，
以點為圓心，為半徑作圓，

，，，
所以，為等邊三角形，
為的中點，，所以，的底邊上的高為，
，，
所以，，
所以，
，
由圓的幾何性質可知，當、、三點共線且為線段上的點時，
的面積取得最大值，此時，的底邊上的高取最大值，即，則，
因此，的最大值為.
故選：B.
【點睛】
結論點睛：已知圓心到直線的距離為，且圓的半徑為，則圓上一點到直線距離的最大值為.
16．已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值為（）
A． B． C．1 D．2
16．A
【分析】
由，得到恒成立，進而求得，再結合，即可求解.
【詳解】
由，所以恒成立，
又由，可得，
則，可得.
故選：A．
【點睛】
本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算公式及其應用，其中解答中熟練向量的數(shù)量積的運算公式，結合向量的運算法則求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
2．如圖正六邊形的邊長為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為3，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根正六邊形的性質，求得內切圓和外接圓的半徑，再化簡得到，結合，得到，即可求解.
【詳解】
由正六邊形的邊長為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為3，
所以正六邊形的內切圓的半徑為，
外接圓的半徑為，
又由
，
因為，即，可得，
所以的取值范圍是.
故選：A.
4．如圖所示，半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于，的任意一點，若為半徑的中點，則的值是（）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題可得，設，則，從而，即可求出答案.
【詳解】
解：因為點是，的中點，所以，設，則．
所以．
∴當時，取到最小值．
故選：D.

1．如圖，在四邊形中，，，，分別為邊上的動點，且，則的最小值為（）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
設的中點為，連接，可得，連接，，由已知求得，再由及，即可求得的最小值．
【詳解】
解：設的中點為，連接，，即，
可得的軌跡是以為圓心，以1為半徑的一段圓弧，
連接，，
則，
．
，
，
，
即的最小值為24．
故選：．

6．如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側作半圓弧，點P在圓弧上運動，則?的取值范圍為（）

A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]
【答案】D
【分析】
根據向量數(shù)量積的定義，等于乘以在向量上的投影，因為不變，故求的取值范圍等價于求向量在向量上的投影的長度取值范圍即可.
【詳解】
解：由題可知，當點P在點C處時，最小，
此時
過圓心O作OPAB交圓弧于點P，連接AP，此時最大，
過O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延長線于F，
則=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，
所以的取值范圍為[2，5].

故選：D.
【點睛】
方法點睛：利用數(shù)量積幾何意義，將問題轉化為投影長度的變化，從而求得取值范圍.
7．已知直角梯形中，，P是邊上一點(不包括B?C兩點).若，，且，則的最小值為（）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
令有，利用幾何圖形中各線段位置關系及其對應向量的線性關系，得，結合已知即可求其最小值.
【詳解】

由題意，，，若，則，
∴，又，，
∴，
∴當時，的最小值為3.
故選：C.

2．設點是的外心，且，那么下列命題為真命題的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，，，則四邊形的面積是5
D．若且，則的最大值是
【答案】ACD
【分析】
利用向量的運算對選項進行逐一分析，結合重要不等式等可得答案.
【詳解】
如圖1，

選項A：，，
則點，，三點共線，
又直角三角形的外心在斜邊上，故，正確；
選項B：若，則點，，三點共線，
故中，，此時為的中點，
則，不滿足，錯誤；
選項C：，則點在外，
又，即，，
所以，正確；
選項D：，
即，
因為，，
平方則有，
化簡得，
即（當時?。剑?，
故有或（舍掉），故，正確，
故選：ACD．
【點睛】
本題考查向量的運算，向量的共線數(shù)量積的運算以及利用重要不等式求最值，屬于中檔題.
1．如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點E，對邊AB，DC的延長線交于點F，若，則（）

A． B．
C．的最大值為1 D．
【答案】ABD
【分析】
選項A. 由，可得可判斷；選項B. 過作交于點，所以,結合條件可判斷；選項C. 由B結合均值不等式可判斷；選項D. 由結合均值不等式可判斷.
【詳解】
選項A. 由，可得
所以，故A正確 .
選項B. 過作交于點
所以, 由這兩式可得
由，則，，
所以，即，故B正確.

選項C. 由B可得
當且僅當,即時取得等號, 故C不正確.
選項D. 由得
,

由，當且僅當,即時取得等號
所以，故D正確.
故選：ABD
【點睛】
關鍵點睛：本題考查向量的線性運算共線等的應用，考查利用均值不等式求最值，解答本題的關鍵是過作交于點，得到，，屬于中檔題.
7．在四邊形中，是邊上一點，且滿足，.若點在線段（端點，除外）上運動，則的可能取值是（）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【分析】
根據題意和圖形可得，結合余弦定理得到，根據三角形邊長的關系得出NC的范圍，計算即可.
【詳解】
∵，∴點為四邊形的外接圓的圓心，

又是邊上一點，∴是該外接圓的直徑，為中點，
則可得，
則.
在中，，，
∴，
∴.
∵在上，，，
∴，∴，∴，
即的取值范圍是，
所以可能的取值為：，.
故選：BC

1．設是單位向量，且，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】
設與的夾角為，根據已知，利用向量的數(shù)量積的運算將化為關于的三角函數(shù)表達式，進而利用三角函數(shù)的性質求得最小值.
【詳解】
，且均為單位向量，
∴，
||=1，,
∴.
設與的夾角為θ，
則.
故的最小值為
故答案為：

18．平面向量，的夾角為，且，則的最大值為_________.
【答案】
【分析】
根據平面向量數(shù)量積的定義得到，將兩邊平方可得，然后將變形后利用基本不等式可得最值.
【詳解】
，
因為，所以，所以，
所以，
所以，

，
令，則，
當且僅當，即時，等號成立.
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】
易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
19．已知圓O的半徑為2，A，B是圓O上兩點，且，是圓O的一條直徑，若動點P滿足(，)，且，則的最小值為____________.
【答案】-3
【分析】
根據向量的線性運算及數(shù)量積的定義，結合題中條件，化簡，根據及二次函數(shù)的性質，即可求得答案.
【詳解】
，
因為是圓O的一條直徑，
所以，
所以所求=
因為A，B是圓O上兩點，且，
所以，
所以所求= ，
因為，
所以當時，有最小值，且為-3，
故答案為：-3
【點睛】
解題的關鍵是熟練掌握向量的線性運算及數(shù)量積公式，并靈活應用，結合二次函數(shù)圖象與性質，進行求解，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.
21．已知等腰直角三角形中，順次為線段的九等分點，則的最大值為________．
【答案】
【分析】
將和化為和表示，利用，計算可得關于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出最大值可得解.
【詳解】
因為順次為線段的九等分點，
所以，，
所以，
，
因為為等腰直角三角形，所以，，
所以

，
所以當或時，取得最大值.
故答案為：
【點睛】
關鍵點點睛：將和化為和表示是解題關鍵.
24．已知，，則的最小值為__________.
【答案】
【分析】
求出，，再利用向量的數(shù)量積展開，根據二次函數(shù)配方即可求解.
【詳解】
，，

，
代入，
原式，
當時，原式最小值為.
故答案為：
25．若，，則的最大值為________.
【答案】6
【分析】
利用數(shù)量積的定義化簡，結合三角函數(shù)的有界性得出最大值．
【詳解】
，所以.
故答案為:
8．已知，均為單位向量，與，共面的向量滿足，，則的最大值是__________.
【答案】
【分析】
由已知，結合向量數(shù)量積的運算律可得，作，，，則，即的軌跡是以為直徑的圓上，其半徑為2，圓心為，由，得且，記，則，當與圓相切時，最小，即可求的最大值.
【詳解】
將兩邊平方，得，
如圖，作，，，則，
∴的軌跡是以為直徑的圓上，其半徑為2，圓心為，再以為圓心作單位圓，
由，得且，
∴當在圓上運動時，在圓上的軌跡是、，
要使最大，記，則，當與圓相切時最小，
此時，即，
∴的最大值是.
故答案為：.

【點睛】
關鍵點點睛：根據向量的幾何性質，作，，，的軌跡是以為直徑的圓上，其半徑為2，圓心為，再以為圓心作單位圓，在圓上運動時，的在圓上軌跡是、，記，則，當與圓相切時最小，即此時的最大.
9．在平面幾何圖形中，把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.如圖，在垂美四邊形中，，，，.

（1）邊的長為_______；
（2）若，分別是線段，上的點，且，則的最大值為______.
【答案】
【分析】
根據已知條件證明，且相似比為，設，，在和中，利用勾股定理列方程即可求出的值，再由勾股定理可求的長；設，則，，利用兩角和的余弦公式計算的值，再由數(shù)量積的定義結合二次函數(shù)的性質即可求最值.
【詳解】

因為，所以，，
設，所以，所以，
所以，
設，，則，，
在中，，即，
在中，，即，
解得：，所以；
（2）設，則，，

在中，，，
在中，，，
所以

，
所以
，，
為開口向下的拋物線，所以當時，最大為，
故答案為：；.

23．正方形的邊長為2，點和分別是邊和上的動點，且，則的取值范圍為________．
【答案】
【分析】
與的交點為它們的中點，這樣，結合表示出，計算數(shù)量積易得取值范圍．
【詳解】
連接交于點，則正方形中，由于，得，∴，，
，
因為正方形的邊長為，所以，
所以.
故答案為：．

【點睛】
關鍵點點睛：本題考查平面向量的數(shù)量積．解題關鍵是的中點也是的中點，從而只要用表示出，就易求得取值范圍．

11．在面積為的平行四邊形中，點為直線上的動點，則的最小值是__________．

【答案】
【解析】

取的中點，連接，因為平行四邊形，面積為，所以，，，此時，且，故答17．半徑為的圓上有三點、、滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為______
【答案】
【分析】
根據平面向量加法的幾何意義結合圓的幾何性質可以確定四邊形是菱形，結合菱形的性質、圓的幾何性質、平面向量運算法則進行求解即可.
【詳解】
如圖，與交于點，由得：，

四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，，
由圖知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵點是圓內一點，則，∴.
故答案為：
【點睛】
關鍵點睛：根據及半徑相等得到四邊形是菱形，以及運用平面向量的運算的性質是解題的關鍵.
案為.
29．如圖，在四邊形中，，，，，，分別為邊，上的動點，且，則______，的最小值為______．

【答案】6 24
【分析】
對第1個空，由所給數(shù)據直接利用數(shù)量積公式，直接求解即可；對第2個空，需要利用的中點為進行問題的轉化，依題意可知點的軌跡是以點為圓心，1為半徑的一段圓弧，故可得，利用的特征即可得解.
【詳解】

因為，，
所以，
設的中點為，連接，因為，
所以，又，所以，
所以點的軌跡是以點為圓心，1為半徑的一段圓弧，
如圖，連接，，
則，所以．
，
又，所以，
即的最小值為24．
故答案為：24.
【點睛】
本題考查了向量的數(shù)量積運算，考查了向量和圓的結合，同時考查了轉化思想，有一定的計算量，屬于中檔題.本題關鍵有：
（1）理解記憶數(shù)量積公式，并能簡單應用；
（2）利用圓的相關性質解決向量相關問題，把向量問題轉化成圓的問題求最值是解決向量難題的一個重要方法.
30．已知單位向量，，滿足，則的最大值為______；最小值為_______．
【答案】
【分析】
設，則，兩邊平方后利用可得關于的不等式，從而可求的最值.
【詳解】
設，則
因為，故，
故即，
因為，為單位向量，所以，
兩邊平方得．
故答案為：1，.
10．已知菱形的邊長為，，點、分別在邊、上，，，若，則的值為___________；若為線段上的動點，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】
（1）本題首先可根據題意得出、，然后通過向量的運算法則得出、，再然后通過向量的數(shù)量積公式得出，最后通過即可得出結果；
（2）本題可設，然后通過向量的運算法則得出、，再然后通過向量的數(shù)量積公式得出，最后通過向量的運算法則得出，根據即可求出最值.
【詳解】
如圖，結合題意繪出圖像，

（1）因為，，
所以，，
則，
，
因為菱形的邊長為，，
所以，
因為，
所以，
即，解得.
（2）因為為線段上的動點，所以設，
則，
，
，

，
因為，所以，最大值為，
故答案為：；.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查向量的幾何應用，考查向量的加法的靈活應用，考查向量的數(shù)量積，考查向量的乘法法則，能否結合圖像得出、、是解決本題的關鍵，考查計算能力，是中檔題.
14．如圖，四邊形中，，，，，，，分別是線段，上的點，且，則的最大值為___________.

【答案】
【分析】
根據平面幾何及梯形的性質，可求出，求出，利用二次函數(shù)求最值.
【詳解】
設
則
則，，

，
即
得，即
過C作過作

則，
則

則
，

則

由
得

，
，函數(shù) 開口向下，對稱軸，
當時，
故答案為：
【點睛】
關鍵點點睛：利用平面幾何性質，求出，利用向量積的定義，求出，利用二次函數(shù)求最值是解題關鍵.
15．已知是半徑為1的圓的一條直徑，點是圓上一動點，則的最大值等于______.
【答案】2
【分析】
由平面向量數(shù)量積的定義運算即可得解.
【詳解】
由題意，，
當為圓直徑時取等號，
所以的最大值等于2.
故答案為：2.
16．如圖，已知四邊形，，，是的中點，，若，則的最小值為___________.

【答案】
【分析】
令，結合題中已知條件得出，，，，通過，根據數(shù)量積的概念以及二次函數(shù)的性質可得結果.
【詳解】
令，因為，，，
所以，，
又因為是的中點，，所以，，，，
故可得，，
所以

，
當時，取得最小值，
故答案為：.
【點睛】
關鍵點點睛：將表示成，根據幾何關系將所需量用表示，將最后結果表示為關于的函數(shù).

8．如圖，已知，，，圓是以為圓心半徑為1的圓，圓是以為圓心的圓．設點，分別為圓、圓上的動點，且，則的最大值為______．

【答案】11
【分析】
設，則，從而有，通過計算求出即可．
【詳解】

設，則，
因為，

，
∵，
∴，
故答案為：11.
9．如圖，已知是邊長為的正六邊形的一條邊，點在正六邊形內(含邊界)，則的取值范圍是___________.

【答案】
【分析】
取的中點，利用向量的線性運算可推導得到，將問題轉化為取值范圍的求解問題，由正六邊形性質可知當與或重合時，最大；當與重合時，最小，由范圍可求得結果.
【詳解】
如圖，取的中點，

由已知得：，則，，
.
以為圓心， (為邊的對邊的中點)為半徑作圓，
由正六邊形的性質可知，該圓與邊相切于點，且點為或點時，最大，
此時.
；
當與重合時，最??；
，即的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】
方法點睛：求解平面幾何中的平面向量數(shù)量積問題的常用方法有兩種：
（1）利用平面向量線性運算將所求數(shù)量積進行轉化，轉化為夾角和模長已知的向量數(shù)量積的求解問題；
（2）建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算來進行求解.

23．在梯形中，，，，，P，Q分別為線段和上的動點．
（1）求與的數(shù)量積；
（2）若，求；
（3）若，，求的最大值．
（4）求數(shù)量積是向量中常見?？嫉膯栴}，根據本題試總結常用的求數(shù)量積的方法．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）詳見解析.
【分析】
（1）根據角和模，直接利用向量數(shù)量積的公式求解；（2）首先轉化，再代入數(shù)量積公式求模；（3）首先轉化向量，再結合向量的運算律和數(shù)量積公式展開，轉化為關于的函數(shù)，再結合對勾函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，求最大值；（4）根據所學知識總結.
【詳解】
（1）；
（2），

；
（3），，
則

，
，解得：，
，當且僅當時等號成立，即，
在上單調遞增，當時，函數(shù)取得最大值，
的最大值是；
（4）求數(shù)量積的方法：
1.根據數(shù)量積的定義，直接求解；2.根據向量加法或減法，以及數(shù)乘，將向量用基底表示，再結合向量的運算律，和定義求解向量的數(shù)量積；3.利用向量數(shù)量積的坐標表示求數(shù)量積.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查平面向量的線性運算以及平面向量的數(shù)量積的運算問題，以及最值問題，本題的關鍵是第三問，求得的解析式是解答的關鍵.

13．在中，，，所對的邊長分別為a，b，c，以點A為圓心，r為半徑作圓，如圖所示，其中為圓A的直徑，試判斷P，Q在什么位置時，有最大值．

【答案】與共線且同向
【分析】
由向量的線性運算及向量的數(shù)量積運算可得，再結合求解即可.
【詳解】
解：∵，，
∴

．
當與同向時，取得最大值，最大值為，
即當與共線且同向時，有最大值．
【點睛】
本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，重點考查了向量的線性運算，屬中檔題.
26．在中，滿足，M是中點．
（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；
（2）若O是線段上任意一點，且，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用平面向量的夾角公式可求得結果；
（2）設，將化為的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)知識可求得結果.
【詳解】
（1）因為，所以，
設向量與向量的夾角為，
則

.
（2）因為，M是中點，，
所以，
設，則，
所以
，
因為，所以當時，取得最小值.
所以的最小值為.
【點睛】
關鍵點點睛：第（2）問，設，將化為的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)知識求解是解題關鍵.

15．中，，過頂點作的垂線，垂足為，，且滿足.
（1）求；
（2）存在實數(shù)，使得向量，，令，求的最小值.
【答案】（1）14;（2）516
【分析】
(1) 由可知,,三點共線,由,及,可得.
在中,求得.即可求得的值.
(2)由(1)利用余弦定理可解得,將已知條件代入化簡可得,利用二次函數(shù)圖象即可求得最小值.
【詳解】
（1）由，得，，三點共線，可知.
又，所以.
在中，所以.
所以.
（2）由（1）知，，，.
由余弦定理得.
由，，
知
.
由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在上單調遞增，
所以當時，取得最小值516.
【點睛】
本題考查了向量的模的計算,余弦定理,考查了借助二次函數(shù)的圖象求解向量的數(shù)量積的最值問題,考查學生的計算能力,難度一般.
27．如圖，在菱形ABCD中，，．

（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形ABCD的邊長為6，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由向量線性運算即可求得值；
（2）先化，再結合（1）中關系即可求解；
（3）由于，，即可得，根據余弦值范圍即可求得結果．
【詳解】
解：（1）因為，，
所以，所以，，
故．
（2）∵，∴
∵ABCD為菱形∴
∴，即．
（3）因為，
所以

∴的取值范圍：．
【點睛】
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
28．如圖，已知正方形的邊長為2，過中心的直線與兩邊分別交于交于點.

（1）求的值；
（2）若是的中點，求的取值范圍；
（3）若是平面上一點，且滿足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值為.
【分析】
(1)把代入中，再由平面向量的數(shù)量積公式，即可求解；
(2)由題可知點為線段的中點，故根據向量的線性運算有，進而求出向量的模長范圍，即可求解；
(3)由，進而求出向量的模長范圍，即可求得的最小值.
【詳解】
解：(1)由題意可得：
；
(2) 在正方形中，過中心的直線與兩邊分別交于交于點.
點為線段的中點
.
又正方形的邊長為2，是的中點
，
.
即的取值范圍為.
(3)由題可得
令，由，可知點在上，
.從而
.
的最小值為.
【點睛】
本題考查了平面向量的數(shù)量積問題，考查了理解辨析能力能力與運算求解能力，屬于中檔題.
29．在中，，記，且為正實數(shù)），
（1）求證：；
（2）將與的數(shù)量積表示為關于的函數(shù)；
（3）求函數(shù)的最小值及此時角的大?。?br /> 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2，.
【分析】
（1）由，得到，根據，即可求解；
（2）由，整理得，即可求得的表達式；
（3）由（2）知，結合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】
（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以．
（3）由（2）知，
因為為正實數(shù)，則，當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為2，即，
此時，因為，可得，
又因為，此時為等邊三角形，所以．
【點睛】
求平面向量的模的2種方法：
1、利用及，把向量模的運算轉化為數(shù)量積的運算；
2、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
30．在中，D是AB的中點.

（1）求證：；
（2）若是等邊三角形，且外接圓半徑為2，圓心為O（如圖），P為⊙O上的一動點，試求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）根據是的中點即可得出，從而得出，然后進行數(shù)量積的運算即可；
（2）根據題意即可得出，，然后根據進行數(shù)量積的運算即可求出，從而可得出的取值范圍．
【詳解】
解：（1）證明：∵D是的中點，
∴；
（2）根據題意，，，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴的取值范圍為：.
【點睛】
本題考查了向量加法?減法和數(shù)乘的幾何意義，相反向量的定義，向量的數(shù)量積運算，向量數(shù)量積的計算公式，考查了計算能力.
7．如圖1，在中，，，點是的中點.

（1）求證：；
（2）直線過點且垂直于，為上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；
（3）如圖2，若，為線段上的任意一點，求的范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，；（3）.
【分析】
（1）根據向量加法的平行四邊形法則，即可證明；
（2）利用向量轉化，計算數(shù)量積；
（3）首先由向量數(shù)量積求得，再轉化向量，設，轉化為關于的二次函數(shù)求取值范圍.
【詳解】
解：（1）中，延長到使得到長度相等，
連接，，

∵是線段的中點，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴.
（2）∵，
∴.
∵，∴，
∵
.
∴.
（3）中，∵，，
又，
∴
，∴，

由（1）同理可證，
∴.
設，則，
，
的范圍是.
10．在中，設.
（1）求證：為等腰三角形；
（2）若且，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1），知，由，知，所以，即可證明為等腰三角形；
（2）由，知，設，由，知，所以，由此能夠求出的取值范圍.
【詳解】
（1）因為，
所以，
因為，所以，
所以，所以，
所以，
故為等腰三角形，
（2）因為，所以，設，
因為，所以，
所以，所以，
又因為，
，，即.
【點睛】
本題主要考查了向量的加法和線性運算，是向量的綜合應用，屬于中檔題.

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