10.1　隨機(jī)事件與概率
10.1.4　概率的基本性質(zhì)
性質(zhì)1　對(duì)任意的事件A，都有__________.性質(zhì)2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝____，P(?)＝____.性質(zhì)3　如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________.性質(zhì)4　如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.性質(zhì)5　如果A?B，那么P(A)_____P(B).性質(zhì)6　設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝______________________.
P(A)＋P(B)－P(A∩B)　
[歸納提升]　(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A、B兩事件互斥時(shí)才能使用，如果A、B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式；(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“A∪B”的意義.
[解析]　記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)兩兩互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
[歸納提升]　(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區(qū)別：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助圖形理解.(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的關(guān)鍵在于理解兩個(gè)事件A，B的交事件A∩B的含義，準(zhǔn)確求出其概率.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　在對(duì)200家公司的最新調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，40%的公司在大力研究廣告效果，50%的公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)，而30%的公司在從事這兩項(xiàng)研究.假設(shè)從這200家公司中任選一家，記事件A為“該公司在研究廣告效果”，記事件B為“該公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).[解析]　P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
[歸納提升]　對(duì)于較復(fù)雜事件的概率在求解時(shí)通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率.
[解析]　記“射擊一次命中k環(huán)”的事件為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥.(1)記“射擊一次命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，則當(dāng)A9或A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.60．(2)方法一：由于事件“射擊一次命中不足7環(huán)”是“射擊一次至少命中7環(huán)”的對(duì)立事件，故所求的概率為P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7環(huán)的概率為0.10．方法二：由題意可知“命中環(huán)數(shù)不足7環(huán)”即“命中環(huán)數(shù)為6環(huán)及以下”，故P＝0.10．
忽略概率加法公式的應(yīng)用前提
[錯(cuò)因分析]　造成錯(cuò)解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥.此題的兩個(gè)事件A，B不是互斥事件，如出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3時(shí)，事件A，B同時(shí)發(fā)生，故此題應(yīng)用性質(zhì)6．
[誤區(qū)警示]　在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)時(shí)，一定要注意公式成立的前提，即事件A與事件B互斥.若事件A，B不互斥，則應(yīng)用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5，兩人都命中的概率為0.4，求甲、乙兩人至少有一人命中的概率.[解析]　至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個(gè)事件的并事件.設(shè)事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．

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版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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