8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.3　平面與平面垂直
第2課時(shí)　平面與平面垂直的性質(zhì)
平面與平面垂直的性質(zhì)定理
[知識(shí)解讀]　對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面互相垂直；②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直.(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.
如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G為AD邊的中點(diǎn).求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.
[證明]　(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.
[歸納提升]　若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
[證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD.則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.
如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn).求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[證明]　(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點(diǎn)，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
[歸納提升]　垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.求證：(1)PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，△ABC是直角三角形.
[證明]　(1)在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)連接BE并延長交PC于點(diǎn)H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
　已知兩個(gè)平面垂直，有下列命題：①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)A．3　　B．2　　C．1　　D．0
對(duì)面面垂直的條件把握不準(zhǔn)確致誤
[錯(cuò)解]　B[錯(cuò)因分析]　④中過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，并沒有說明這一垂線一定在平面內(nèi).
[正解]　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD.對(duì)于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故①錯(cuò)誤；②顯然正確；
對(duì)于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1與平面ABCD不垂直，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，過點(diǎn)D作AD的垂線，假設(shè)為C1D，易證C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD顯然不成立，故④錯(cuò)誤.綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為1．
[誤區(qū)警示]　對(duì)于④，很容易認(rèn)為是正確的而錯(cuò)選B“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過一點(diǎn)作的直線不一定在平面內(nèi).
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則(　　)A．一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個(gè)平面B．過交線上一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線必在另一個(gè)平面內(nèi)C．過交線上一點(diǎn)垂直于交線的直線，必垂直于另一個(gè)平面D．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線互相垂直

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8.6 空間直線、平面的垂直

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