A.4 B.5 C.6 D.7
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成角的大小為( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.若空間中四條不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結論正確的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1,l4既不垂直也不平行 D.l1,l4的位置關系不確定
4.如圖,在四面體ABCD中,M,N分別是AC,BD的中點,AB=CD=2,MN=3,
則異面直線AB與CD所成的角為( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5.如圖,圓柱的底面直徑AB與母線AD的長度相等,E是弧AB的中點,
則AE與BD所成的角為( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
二、鞏固提高
6(多選題).如圖,三棱柱ABC-DEF的所有棱長均相等,則( )
A.AB⊥CF B.AE⊥BD
C.∠ABC=60° D.∠ADE=60°
7.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1,AD的中點,
則異面直線CD1,EF所成的角的大小為 .
8.如圖,幾何體ABCD-A1B1C1D1為正方體.
(1)求異面直線A1C1與B1C所成角的大小;
(2)若E,F分別為棱AB,AD的中點,求證:A1C1⊥EF.
三、尖子突破
9.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,點M,N分別在PA,BD上,且PMPA=BNBD=13,求證:MN⊥AD.
參考答案
1.A在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,棱AD,A1D1,BC,B1C1均與直線BA1垂直,即共有4條直線與直線BA1垂直
2.C如圖所示,連接BD,B1D1,D1C,∵EF∥DB,DB∥D1B1,∴EF∥D1B1,
則異面直線B1C與EF所成的角為∠D1B1C.∵D1B1=B1C=D1C,
即△B1CD1為等邊三角形,∴∠D1B1C=60°.故選C.
3.D如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,記DD1為l1,DC為l2,DA為l3,
滿足題中條件l1⊥l2,l2⊥l3.若AA1為l4,滿足l3⊥l4,此時l1∥l4;
若C1D為l4,滿足l3⊥l4,此時l1與l4相交但不垂直;
若AB為l4,滿足l3⊥l4,此時l1與l4異面垂直;若C1D1為l4,
滿足l3⊥l4,此時l1與l4相交且垂直.因此l1,l4的位置關系不確定,故選D.
4.B如圖,取BC的中點P,連接MP,NP,因為M,N分別是AC,BD的中點,
所以MP∥AB,NP∥CD且MP=12AB=1,NP=12CD=1,
所以∠MPN或其補角即為異面直線AB與CD所成的角.
由余弦定理可知cs∠MPN=MP2+NP2-MN22·MP·NP=-12,所以∠MPN=120°,
所以異面直線AB與CD所成的角為60°.
5.C如圖,取DC的中點F,連接EF,BF,DF,則EF∥AD,且EF=AD,
故四邊形ADFE為平行四邊形,所以DF∥AE,
所以∠FDB或其補角為AE與BD所成的角.
設AB=1,則AD=1,由勾股定理得BD=1+1=2,
DF=22,BF=1+12=62,
由余弦定理得cs∠FDB=DF2+BD2-FB22DF·BD=12+2-322×22×2=12,故∠FDB=π3,所以AE與BD所成的角為π3.
6.BC [解析] 對于A,∵AD∥CF,∴∠BAD或其補角為AB與CF所成的角,但∠BAD不一定是直角,A錯誤;對于B,由題意知?ABED為菱形,則AE⊥BD,B正確;對于C,由題意知AB=BC=CA,則∠ABC=60°,C正確;對于D,由題意知?ABED為菱形,則∠ADE∈(0°,180°),即∠ADE的大小無法確定,D錯誤.故選BC.
7.90° [解析] 取CD1的中點G,連接EG,DG.∵E是BD1的中點,∴EG∥BC,EG=12BC.∵F是AD的中點,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四邊形EFDG是平行四邊形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,∴四邊形ABB1A1和四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴異面直線CD1,EF所成的角為90°.
8.解:(1)如圖,連接AC,AB1.由幾何體ABCD-A1B1C1D1是正方體,得AA1?CC1,所以四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1,
所以∠B1CA或其補角即為異面直線A1C1與B1C所成的角.
因為AB1=AC=B1C,所以∠B1CA=60°,所以異面直線A1C1與B1C所成的角為60°.
(2)證明:連接BD,由(1)知AC∥A1C1.
因為E,F分別為AB,AD的中點,所以EF∥BD,
在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥EF,
所以A1C1⊥EF.
9.證明:連接AN并延長交BC于E,連接PE,
∵BNBD=13,∴BNND=12.
∵AD∥BC,∴NEAN=BEAD=12,
即NEAE=13,∴PMPA=NEEA=13,∴MN∥PE.
又BEAD=12,BC=AD,∴E為BC的中點,
在正四棱錐中,PC=PB,∴PE⊥BC,
即PE⊥AD,∴MN⊥AD. 2024—2025學年下學期高一數(shù)學分層作業(yè)（34）
8.6.1直線與直線垂直

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8.6 空間直線、平面的垂直

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