本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
初中的時(shí)候就學(xué)習(xí)過平面內(nèi)的兩條直線判定垂直的方法，前面在學(xué)習(xí)空間中兩條直線的位置關(guān)系時(shí)也已經(jīng)掌握了異面直線的概念，本節(jié)主要研究異面垂直和異面直線所成的角。
1. 理解兩異面直線所成角的定義，會求兩異面直線所成的角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
2. 掌握證明兩條異面直線垂直的方法，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：理解異面直線所成角的定義以及證明兩直線垂直。
2.難點(diǎn)：會求兩異面直線所成的角。
（一）新知導(dǎo)入
觀察下面兩個(gè)圖形.
【問題】 (1)教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線的位置關(guān)系是什么？
(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？CD與BE的位置關(guān)系是什么？
【提示】(1)是異面直線.
(2)是異面直線；是平行直線.
（二）直線與直線垂直
知識點(diǎn)一 異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍：0°≤α≤90.
知識點(diǎn)二 直線與直線垂直
與平面內(nèi)兩直線垂直的概念是一致的、統(tǒng)一的，可以看作是平面內(nèi)直線垂直的推廣
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b.
【思考1】直線a、b所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎?
【提示】無關(guān)
【思考2】兩條直線垂直，一定相交嗎？
【提示】 不一定.當(dāng)兩條異面直線所成的角為90°時(shí)，兩條異面直線垂直，不一定相交.
【做一做】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________.
【解析】(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即為AC和D1C1所成的角，由正方體的性質(zhì)得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等邊三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
【答案】(1)90° (2)45° (3)90° (4)60°
（三）典型例題
1.求異面直線所成的角
例1.在正四面體中，，E，F(xiàn)分別為SC?AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SC?AB的中點(diǎn)，所以 ，∴∠GEF為異面直線EF與SA所成的角.
因?yàn)?，所以，又，所以，所以△GEF為等腰直角三角形，故∠GEF=45°.故選B.
【答案】B
【類題通法】求兩條異面直線所成的角的一般步驟
(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角.
(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形.
(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.
【鞏固練習(xí)1】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1與B1C所成角的大小；
(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.
【解】(1)如圖所示，連接AC，AB1.
由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1與B1C所成的角為60°.
(2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1與EF所成的角為90°.
2.證明直線與直線垂直
例2.如圖所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.
【證明】如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G.
則OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，
∴GO⊥A1C1.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.
∴DB1⊥EF.
【類題通法】 證明兩條異面直線垂直的步驟：
(1)恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．
(2)證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)．
(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．
(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證．
【鞏固練習(xí)2】空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3.
求證：AC⊥BD.
【證明】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，
同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.設(shè)a，b，c是直線，則( )
A.若a⊥b，c⊥b，則a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，則a⊥c
C.若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等
D.若a與b是異面直線，c與b也是異面直線，則a與c是異面直線
2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
3.在正方體中，則直線與直線所成角大小為（ ）
A．B．C．D．
4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是 ．
【答案】1.C 2.B 3.C 4.90°

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第148頁 練習(xí) 第1，2,3,4題
第162頁 習(xí)題8.6 第4,11題










8.6空間直線、平面的垂直
課時(shí)內(nèi)容
8.6.1直線與直線垂直
8.6.2直線與平面垂直
8.6.3平面與平面垂直
所在位置
教材第146頁
教材第149頁
教材第155頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.
本節(jié)內(nèi)容是空間直線平面垂直，按照“判定--性質(zhì)”展開內(nèi)容，通過直觀感知和操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定和性質(zhì)定理。
本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過實(shí)物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).
通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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