1.直線與平面垂直的判定定理是什么?
2.如何運(yùn)用線面垂直的判定定理證明線與面的空間位置關(guān)系？
自主測(cè)評(píng)
1.判斷
(1)如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直,那么它與該平面垂直.( )
(2)如果一條直線與一個(gè)平面不垂直,那么它與平面內(nèi)任何一條直線都不垂直.( )
(3)如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.( )
(4)若一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂直,則此直線與該三角形所在平面垂直.( )
2.已知直線a,b和平面α,且b在α內(nèi),a不在α內(nèi),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.若a∥α,則存在無(wú)數(shù)條直線b,使得a∥b B.若a⊥α,則存在無(wú)數(shù)條直線b,使得a⊥b
C.若存在無(wú)數(shù)條直線b,使得a∥b,則a∥α D.若存在無(wú)數(shù)條直線b,使得a⊥b,則a⊥α
（二）共同探索
【探究】 如圖，在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿以及它在
地面上的影子.隨著時(shí)間的變化，影子的位置在不斷地變化，
旗桿所在直線與其影子所在直線是否保持垂直？
事實(shí)上，隨著時(shí)間的變化，盡管影子的位置在不斷地變化，但是旗桿所在直線始終與其影子所在直線 ，也就是說(shuō)，旗桿 與地面上任一條過(guò)點(diǎn)的直線 .
對(duì)于地面上不過(guò)點(diǎn)的任意一條直線 ，總能在地面上找到過(guò)點(diǎn)的一條直線與之 ，根據(jù)異面直線垂直的定義，可知旗桿 所在直線與直線 也垂直.因此，旗桿 所在直線與地面上 直線都 .
直線與平面垂直：一般地，如果直線 與平面 內(nèi)的 直線都 ，我們就說(shuō) 與 互相 ，記作 .
直線 叫做 的 ，平面 叫做 的 .
直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn) 叫做 .
【思考】 在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結(jié)論推廣到空間，過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？
點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線 .過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該 與 間的線段，叫做這個(gè) 到該 的 ，垂線段的 叫做這個(gè) 到該 的距離.
例如：在棱錐的體積公式中，棱錐的 就是棱錐的 到 的距離.
下面探究直線與平面垂直的判定.
【探究】 如圖，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，過(guò)的頂點(diǎn)翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起來(lái)放置在桌面上（與桌面接觸）.
折痕與桌面垂直嗎？
如何翻折才能使折痕與桌面垂直？為什么？
容易發(fā)現(xiàn)，所在直線與桌面所在平面垂直的充要條件是 .這時(shí)，由于翻折之后 關(guān)系不變，所以 與 內(nèi)的 直線都______.
事實(shí)上，由基本事實(shí)的推論2，平面可以看成是由兩條 直線所 確定的，所以當(dāng) 垂直于這兩條 直線時(shí)，就能保證 與 內(nèi)所有直線都 .
直線與平面垂直定理：如果一條 與一個(gè) 內(nèi)的兩條 直線垂直，那么該 與此 垂直.它可以用符號(hào)表示為：
定理體現(xiàn)了“ ”和“ ”的相互轉(zhuǎn)化.
【思考】?jī)蓷l相交直線可以確定一個(gè)平面，兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無(wú)數(shù)條直線”呢？
直線與平面所成的角：如圖，一條直線與一個(gè)平面 ，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的 ， 和平面的 叫做 .
過(guò)斜線上 以外的一點(diǎn)向平面引 ，過(guò) 和 的直線 叫做 在這個(gè)平面上的 .平面上的一條 和它在平面上的 所成的 ，叫做這條 和這個(gè) 所成的 .
一條直線 于平面，我們說(shuō)它們所成的角是 ；一條直線和平面 ，或 ，我們說(shuō)它們所成的角是 .直線與平面所成的角 的取值范圍是 .
【思考】如果是平面內(nèi)的任意一條不與直線重合的直線，那么直線與直線所成的角和直線與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么？
例1 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.
例2 如圖，在正方體中，求直線和平面所成的角.
課堂練習(xí)
1.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，求證：平面.
2.如圖，在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足什么條件時(shí)，？
課堂總結(jié)
1.直線與平面垂直定理 2.直線與平面所成的角
2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（35）
8.6.2 直線與平面垂直（1）

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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