8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.3　平面與平面垂直
第1課時(shí)　平面與平面垂直的判定
[知識(shí)解讀]　1．二面角與平面幾何中的角的對(duì)比
2．剖析平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況.例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的.(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過(guò)所成的角是直角定義的.3．詳解平面與平面垂直的判定定理(1)本質(zhì)：通過(guò)直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直.(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問(wèn)題來(lái)解決.
　下列命題中：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系.其中正確的是(　　)A．①③　　B．②④　　C．③④　　D．①②
[解析]　由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對(duì)；由定義知④正確.故選B．[歸納提升]　1．要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.2．要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別.3．可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角(　　)A．相等　　B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)　　D．關(guān)系無(wú)法確定[解析]　如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋－DG－F的大小不確定.
四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù).[分析]　求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.
[解析]　(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角.又由題意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.
(3)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角.又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.(4)作BE⊥PC于E，連接DE、BD，且BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖.由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED為二面角B－PC－D的平面角.
如圖所示，∠AOB為二面角α－l－β的平面角.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
[解析]　取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O、BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1的中點(diǎn)，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
[分析]　(1)根據(jù)已知的線段長(zhǎng)度，證明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)論.(2)根據(jù)(1)問(wèn)得到PD⊥平面ABCD，從而有PD⊥AC，然后結(jié)合底面ABCD為正方形得到AC⊥BD，從而找出平面PDB的垂線AC，最后利用判定定理證得結(jié)論.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同時(shí)，AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
[歸納提升]　證明平面與平面垂直的方法：(1)定義法：根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角為直角.(2)判定定理：判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直.(3)利用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面”.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
[解析]　(1)由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
　如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問(wèn)截面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直嗎？試說(shuō)明理由.
判斷面面位置關(guān)系時(shí)主觀臆斷
[錯(cuò)解]　由題意可知，D1B1與AB1不垂直，D1B1與B1C不垂直，所以D1B1與平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D與平面ACB1不垂直.
[錯(cuò)因分析]　判斷兩個(gè)平面垂直，只需說(shuō)明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時(shí)，必須給出嚴(yán)格的推理過(guò)程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì).[正解]　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有_________對(duì)(　　)A．1　　B．2C．3　　D．4
[解析]　∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.

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8.6 空間直線、平面的垂直

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