8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.2　直線與平面垂直
第2課時　直線與平面垂直的性質(zhì)
直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1．直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上___________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.2．兩個平行平面間的距離如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都_______，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
[知識解讀]　1．剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論.(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直).(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).(4)定理的推證過程采用了反證法.
其中正確命題的序號是(　　)A．②③　　B．③④C．①②　　D．①②③④[答案]　A[解析]?、僦衝，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A．
[歸納提升]　判定兩條直線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實4：證兩線同時平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.
【對點(diǎn)練習(xí)】?　已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面.下列命題中正確的個數(shù)為(　　)①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1　　B．2　　C．3　　D．0
[解析]　對于①，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對于②，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對于③，因為l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯誤.
　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1．[證明]　因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
[歸納提升]　(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直.(2)在證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì).
【對點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.[證明]　因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.
如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.
[證明]　因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[歸納提升]　線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時一定要體現(xiàn)出來.
【對點(diǎn)練習(xí)】?　本例中“過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G”改為“過A作AF⊥SC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥SC交SB于點(diǎn)E”，結(jié)論不變，如何證明？
[證明]　因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.又因為AF⊥SC于點(diǎn)F，EF⊥SC交SB于點(diǎn)E，所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[正解]　①當(dāng)點(diǎn)A，B在平面α的同側(cè)時，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.②當(dāng)點(diǎn)A，B位于平面α的兩側(cè)時，如圖，過點(diǎn)A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點(diǎn)C，A1B1為AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角.在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．
【對點(diǎn)練習(xí)】?　在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝_____.

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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