教學(xué)設(shè)計
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》。以下是本節(jié)的課時安排：
學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎(chǔ)。
1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運用其解決相關(guān)問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；
2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。
1.重點：直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；
求直線與平面所成角。
2.難點：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用。
（一）新知導(dǎo)入
在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，比如旗桿與地面的
位置關(guān)系，給我們以直線與平面垂直的形象，那什么叫做直線與平面垂直呢？
怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直呢？
【問題1】如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?
【提示】旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直
【問題2】對于地面上不過點B的任意一條直線B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？
【提示】旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直。
（二）直線與平面垂直
知識點一 直線與平面垂直的定義
定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足。
記法：l⊥α
圖示：
性質(zhì)：若a⊥α，b?α，則a⊥b.
【思考】直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”或“無數(shù)條直線”？
【提示】定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數(shù)條直線”，因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直.
【做一做】直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能( )
A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直
答案：A
知識點二 直線與平面垂直的判定
【探究3】如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)
(1)折痕AD與桌面垂直嗎?
(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?

【提示】容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直。
（1）文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。
（2）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。
（3）圖形語言：
【思考1】若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？
【提示】當(dāng)這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交，不一定垂直.
【思考2】如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？
【提示】 垂直.
【辯一辯】 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．( )
(2)如果一條直線與一個平面內(nèi)所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．( )
答案：(1)× (2)√
【做一做】若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
答案：C
知識點三 直線與平面所成的角
【做一做】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
直線AB1與平面ABCD所成的角等于__________；
AB1與平面ADD1A1所成的角等于__________；
AB1與平面DCC1D1所成的角等于__________．
解析：∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.
答案：45° 45° 0°
（三）典型例題
1.直線與平面垂直的證明
例1.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F.
(1)求證：PC⊥平面AEF；
(2)設(shè)平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD.
【證明】(1)因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，
所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以AE⊥PC.
又因為PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.
【類題通法】1.證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義．
②線面垂直的判定定理．
③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．
④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．
2.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化
【鞏固練習(xí)1】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
【證明】(1)因為AB為⊙O的直徑，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.
又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.
2.直線與平面所成的角
例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
【解】(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq \r(2)，∴tan∠A1CA＝eq \f(\r(2),2).
(2)連接A1C1交B1D1于O(見題圖)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，
即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.
【類題通法】 求斜線與平面所成角的步驟：
(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．
(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．
(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．
【鞏固練習(xí)2】在正方體中，若E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．
【解】連接AC交BD于點O，過E作EO1∥AC交BD于點O1，易證AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，
∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．
設(shè)正方體的棱長為a，∵E是AB的中點，EO1∥AC，
∴O1是BO的中點，∴EO1＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2)a,2)＝eq \f(\r(2)a,4)，
B1O1＝eq \r(BO\\al(2,1)＋BB\\al(2,1))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,4)))2＋a2)＝eq \f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq \f(EO1,B1O1)＝eq \f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq \f(1,3).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不確定
2.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
3.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( )
A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m
4.下列命題中，正確的序號是________．
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；
②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；
③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；
④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．
答案：1.A 2.A 3.B 4.③④
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第152頁 練習(xí) 第1，2,3,4題
第162頁 習(xí)題8.6 第5,13,19,20題










8.6空間直線、平面的垂直
課時內(nèi)容
8.6.1直線與直線垂直
8.6.2直線與平面垂直
8.6.3平面與平面垂直
所在位置
教材第146頁
教材第149頁
教材第155頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.
直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準(zhǔn)備；這三類垂直問題的主線是類似的，都是以定義——判定——性質(zhì)為主線，通過定理的探索過程，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)。
本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過實物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).
通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
有關(guān)概念
對應(yīng)圖形
斜線
一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面α垂直，圖中直線PA
斜足
斜線和平面的交點，圖中點A
射影
過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影
直線與平面所成的角
定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角
規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角
取值范圍
[0°，90°]

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8.6 空間直線、平面的垂直

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