教學(xué)設(shè)計
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》。以下是本節(jié)的課時安排：
前面已經(jīng)掌握了線線垂直和線面垂直，本節(jié)借助學(xué)生已有知識繼續(xù)研究線面垂直，是對前面內(nèi)容的繼續(xù)。
1.掌握直線與平面垂直性質(zhì)定理并能運用其解決相關(guān)問題,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng) ；
2. 理解直線到平面的距離以及兩平行平面的距離定義，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
1.重點：直線與平面平行的性質(zhì)定理；直線到平面的距離以及兩平行平面的距離。
2.難點：能運用直線與平面垂直性質(zhì)定理解決相關(guān)問題。
（一）新知導(dǎo)入
如圖是馬路旁的路燈燈柱,若將燈柱看作一條直線,地面看作平面,燈柱所在直線與地面所在平面有何位置關(guān)系?
【問題】燈柱所在的直線間是什么位置關(guān)系?
【提示】燈柱所在的直線都是平行的.
（二）直線與平面垂直
知識點一 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
(1)文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
(2)圖形語言：
(3)符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.
(4)作用：①線面垂直?線線平行；②作平行線．
【拓展】直線與平面垂直的其他性質(zhì)：
(1)如果一條直線垂直于一個平面，那么它就垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線；
(2)兩條平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面；
(3)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面；
(4)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.( )
(2)若直線a⊥平面α，直線a⊥直線b，則直線b∥平面α.( )
答案： (1)√ (2)×
【做一做】△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則不重合的直線l，m的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．異面 C．平行D．不確定
【解析】∵直線l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，
∴l(xiāng)⊥平面α，同理直線m⊥平面α.由線面垂直的性質(zhì)定理可得l∥m.
答案：C
知識點二 點面距、線面距與面面距
(1)過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離．
(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．
(3)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面之間的距離．
【做一做】若直線AB∥平面α，且點A到平面α的距離為2，則點B到平面α的距離為________.
答案：2
（三）典型例題
1.直線與平面垂直的性質(zhì)
例1.如圖所示，正方體A1B1C1D1-ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．
求證：EF∥BD1.
【證明】如圖所示：
連接AB1，B1D1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
【類題通法】應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)達到證明線線平行的目的，即線面垂直的性質(zhì)提供了線線平行的依據(jù)．
【鞏固練習1】在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD，
求證：l∥AE.
【證明】∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵AE?平面PAD，∴AE⊥DC.
又∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.
又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l.
2.點面距、線面距與面面距
例2. 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝eq \r(2)，又已知S是△ABC所在平面外一點，SA＝SB＝2，SC＝eq \r(5)，點P是SC的中點，求點P到平面ABC的距離．
【解】如圖所示，連接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.
取AB、AC的中點E、F，連接PF，EF，PE，則EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因為PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE?平面PEF，所以PE⊥AC.
易證△SAC≌△SBC.因為P是SC的中點，所以PA＝PB.而E是AB的中點，所以PE⊥AB.
因為AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.從而PE的長就是點P到平面ABC的距離．
在Rt△AEP中，AP＝eq \f(1,2)SC＝eq \f(\r(5),2)，AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(2),2)，所以PE＝eq \r(AP2－AE2)＝ eq \r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq \f(\r(3),2)，
即點P到平面ABC的距離為eq \f(\r(3),2).
【類題通法】 求點到面的距離的關(guān)鍵是確定過點與平面垂直的線段．可通過外形進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為易于求解的點，等體積法也是求點到平面的距離的常用方法．線面距、面面距都可以轉(zhuǎn)化為點面距。
【鞏固練習2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.
(1)求異面直線B1C1與A1C所成角的正切值．
(2)求直線B1C1與平面A1BC的距離．
【解】(1)因為B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其補角)是異直線B1C1與A1C所成的角．
因為BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，
所以BC⊥平面ABB1，所以BC⊥A1B.
在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝eq \f(A1B,BC)＝eq \f(\r(5),1)＝eq \r(5)，
所以異面直線B1C1與A1C所成的角的正切值為eq \r(5).
(2)因為B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距離等于B1到平面A1BC的距離，設(shè)B1到平面A1BC的距離為d，因為VB1-A1BC＝VA1-BB1C，
所以eq \f(1,3)S△A1BC×d＝eq \f(1,3)S△B1BC×A1B1，可得d＝eq \f(2\r(5),5)，
直線B1C1與平面A1BC的距離為eq \f(2\r(5),5).
3.直線與平面位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
例3.△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點．
求證：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD.
【證明】(1)如圖，取AB的中點G，連接FG，CG，可得FG∥AE，F(xiàn)G＝eq \f(1,2)AE.
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE.
又∵CD＝eq \f(1,2)AE.∴FG∥CD，F(xiàn)G＝CD.
∵FG⊥平面ABC，∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG.
又∵CG?平面ABC，DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.
(2)在Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F(xiàn)為BE中點，∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
又∵DF⊥FG，F(xiàn)G∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.
又∵AF?平面ABE.∴DF⊥AF.
∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.
又∵BD?平面BDF，∴AF⊥BD.
【類題通法】判斷線線、線面的平行或垂直關(guān)系，一般要利用判定定理和性質(zhì)定理，有時也可以放到特殊的幾何體中(如正方體、長方體等)然后再判斷它們的位置關(guān)系．
【鞏固練習3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，AB＝2，PC＝2eq \r(7)，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB的中點．
(1)證明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱錐C-AEF的體積．
【解析】(1)證明：如圖，取PD中點為G，連接EG，AG，
則EG∥CD，EG＝eq \f(1,2)CD，AF∥CD，AF＝eq \f(1,2)CD，
所以EG與AF平行且相等，所以四邊形AGEF是平行四邊形，
所以EF∥AG，AG?平面PAD，EF?平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)解：連接AC，BD，交于點O，連接EO，因為E為PC的中點，所以EO為△PAC的中位線，
又因為PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，即EO為三棱錐E-AFC的高．
在菱形ABCD中可求得AC＝2eq \r(3)，在Rt△PAC中，PC＝2eq \r(7)，所以PA＝eq \r(PC2－AC2)＝4，EO＝2，
所以S△ACF＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×AB×BC×sin∠ABC＝eq \f(\r(3),2)，所以VC-AEF＝VE-ACF＝eq \f(1,3)S△ACF×EO＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(\r(3),3).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中不正確的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，則過M且與直線AB和B1C1都垂直的直線有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條
3.若a，b表示不同的直線，α表示平面，下列命題中正確的個數(shù)為( )
①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.
A．1 B．2 C．3 D．0
4.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，則A1B1到平面D1EF的距離是________．
答案：1.C 2.A 3.B 4.eq \f(\r(5),5)

【設(shè)計意圖】通過練習鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第155頁 練習 第1，2,3,4題
第162頁 習題8.6 第1,2題










8.6空間直線、平面的垂直
課時內(nèi)容
8.6.1直線與直線垂直
8.6.2直線與平面垂直
8.6.3平面與平面垂直
所在位置
教材第146頁
教材第149頁
教材第155頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.
直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準備；這三類垂直問題的主線是類似的，都是以定義——判定——性質(zhì)為主線，通過定理的探索過程，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)。
本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過實物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).
通過學(xué)習直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
通過學(xué)習平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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