6.2　平面向量的運算
6.2.3　向量的數(shù)乘運算
2．向量數(shù)乘的運算律設(shè)λ，μ為實數(shù)，那么(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝_________.(3)λ(a＋b)＝_________.特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量線性運算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________.
[知識解讀]　(1)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小|λ|倍.(2)λ是實數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量.實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.(3)注意向量數(shù)乘的特殊情況：①若λ＝0，則λa＝0；②若a＝0，則λa＝0．
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使________.
[分析]　運用向量數(shù)乘的運算律求解.
[歸納提升]　向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).
[解析]　(1)①③④正確，②錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
[歸納提升]　解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內(nèi)，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示.
(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0．∴k＝±1．
2．利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0).而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值.
進行向量的線性運算時忽略圖形的性質(zhì)
[誤區(qū)警示]　在根據(jù)平面幾何圖形進行化簡、證明時，要準確應(yīng)用平面幾何圖形的性質(zhì).應(yīng)根據(jù)題意判斷所給圖形是否是特殊圖形，不能盲目運用特殊圖形的性質(zhì)進行求解.

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6.2 平面向量的運算

版本： 人教A版 (2019)

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