
6.3 平面向量基本定理及坐標表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示
1.平面向量正交分解的定義把一個向量分解為兩個_______的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐標表示(1)定義:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個___________分別為i,j,取{i,j}作為基底.對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=_________.我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y).此式叫做向量a的坐標表示.(2)特殊向量的坐標:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
平面向量的正交分解及坐標表示
[知識解讀] 點的坐標與向量坐標的區(qū)別和聯(lián)系點的坐標反映的是點的位置,而向量的坐標反映的是向量的大小和方向,向量僅由大小和方向決定,與位置無關.1.聯(lián)系:(1)當且僅當向量的起點為原點時,向量終點的坐標等于向量本身的坐標.
2.區(qū)別:(1)書寫不同,如a=(1,2),A(1,2).(2)給定一個向量,它的坐標是唯一的;給定一個有序實數(shù)對,由于向量可以平移,故以這個有序實數(shù)對為坐標的向量有無窮多個.因此,符號(x,y)在平面直角坐標系中有雙重意義,它既可以表示一個固定的點,又可以表示一個向量.為了加以區(qū)分,在敘述中,常說點(x,y)或向量(x,y).
3.平面向量的坐標運算設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有下表:
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(x2-x1,y2-y1)
[歸納提升] 平面向量坐標運算的技巧(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數(shù)的運算進行.
已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標,使這四點構成平行四邊形的四個頂點.[分析] 利用坐標形式下向量相等的條件,可以建立相等關系,進而求出D點的坐標.
[歸納提升] 平行四邊形頂點坐標的求解(1)已知平行四邊形的三個頂點的坐標求第四個頂點的坐標主要是利用平行四邊形的對邊平行且相等這個性質,則其對應的向量相等,即向量的坐標相等.(2)當平行四邊形的頂點順序未確定時,要分類討論.
誤把向量的坐標當作點的坐標
[誤區(qū)警示] 向量的坐標反映的是向量的長度和向量的方向,與終點坐標無關,只有當向量的始點是坐標原點時,向量的坐標與終點的坐標才是一致的.
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