1．下列命題錯(cuò)誤的是( B )


A．平分弧的直徑平分這條弧所對(duì)的弦


B．平分弦的弦垂直于這條弦


C．垂直于弦的直徑平分這條弦


D．弦的中垂線經(jīng)過(guò)圓心


2．如圖24－1－13，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，若CD＝8，OP＝3，則⊙O的半徑為( C )





圖24－1－13


A．10 B．8 C．5 D．3


3．如圖24－1－14，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是( D )





圖24－1－14


A．CM＝DM B.eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))


C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD


【解析】∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，


∴M為CD的中點(diǎn)，即CM＝DM，選項(xiàng)A成立；


B為eq \(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，即eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))，選項(xiàng)B成立；


在△ACM和△ADM中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM＝AM，,∠AMC＝∠AMD＝90°，,CM＝DM，))


∴△ACM≌△ADM(SAS)，∴∠ACD＝∠ADC，選項(xiàng)C成立；而OM與MD不一定相等，選項(xiàng)D不成立．


4．如圖24－1－15，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2eq \r(3)，OC＝1，則半徑OB的長(zhǎng)為_(kāi)_2__．





圖24－1－15


【解析】 ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2eq \r(3)，∴BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3).∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，OB＝eq \r(OC2＋BC2)＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2.


5．如圖24－1－16，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)M，AM＝18，BM＝8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_24__．


【解析】 如圖，連接OD，∵AM＝18，BM＝8，


∴OD＝eq \f(AM＋BM,2)＝eq \f(18＋8,2)＝13，∴OM＝13－8＝5.


在Rt△ODM中，DM＝eq \r(OD2－OM2)＝eq \r(132－52)＝12，


∵直徑AB丄弦CD，∴CD＝2DM＝2×12＝24.





圖24－1－16





第5題答圖





6．如圖24－1－17，在半徑為13的⊙O中，OC垂直弦AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，AB＝24，則CD的長(zhǎng)是__8__．





圖24－1－17





第6題答圖


【解析】 如圖，連接OA，


∵OC⊥AB，AB＝24，∴AD＝eq \f(1,2)AB＝12.


在Rt△AOD中，∵OA＝13，AD＝12，∴OD＝eq \r(OA2－AD2)＝eq \r(132－122)＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8.


7．如圖24－1－18，AB是⊙O的弦，AB長(zhǎng)為8，P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PB于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_4__.





圖24－1－18


【解析】 ∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂徑定理得AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位線，∴CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×8＝4.


8．工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10 mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm，如圖24－1－19所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_8__mm.





圖24－1－19





第8題答圖


【解析】 如圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則AB＝2AD.


∵鋼珠的直徑是10 mm，∴鋼珠的半徑是5 mm.


∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm，


∴OD＝3 mm.


在Rt△AOD中，∵AD＝eq \r(OA2－OD2)＝eq \r(52－32)＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．


9．如圖24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直徑)，C，D是AB上的兩點(diǎn)，并且AC＝BD.求證：OC＝OD.





圖24－1－20





第9題答圖


證明：如圖，過(guò)O作OE⊥AB于E，則AE＝BE，


又∵AC＝BD，∴CE＝DE，


∴OE是CD的中垂線，∴OC＝OD.





10．紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖24－1－21，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為( D )





圖24－1－21


A．4 m B．5 m


C．6 m D．8 m


11．如圖24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為H，且CD＝2eq \r(2)，BD＝eq \r(3)，則AB的長(zhǎng)為( B )





圖24－1－22


A．2 B．3


C．4 D．5


【解析】 連接OD.∵直徑AB⊥CD于H，∴DH＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2).在Rt△BDH中，BH＝eq \r(BD2－DH2)＝eq \r(（\r(3)）2－（\r(2)）2)＝1.設(shè)⊙O的半徑為R，則在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R－1)2＋(eq \r(2))2＝R2，∴2R＝3，故選B.


12．[2013·吉林]如圖24－1－23，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB.點(diǎn)P是半徑OB上任意一點(diǎn)，連接AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，則AP的長(zhǎng)度可能是__答案不唯一，5≤AP≤8__cm(寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)值即可)．





圖24－1－23


13．如圖24－1－24，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心．求證：AC＝BD.





圖24－1－24





第13題答圖


證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，在小⊙O中，


∵OE⊥AB，∴EC＝ED，


在大⊙O中，


∵OE⊥AB，


∴EA＝EB，


∴AC＝BD.


14．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為了更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，圖24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．


(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；


(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB＝16 cm，水面最深地方的高度為4 cm，求這個(gè)圓形截面的半徑．





圖24－1－25





第14題答圖


解：(1)作出圖形，如圖所示；


(2)如圖，過(guò)O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，連接OB，∵OC⊥AB，∴BD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×16＝8(cm)．


由題意可知CD＝4 cm.


設(shè)這個(gè)圓形截面的半徑為x cm，則OD＝(x－4)cm.


在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，


即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，


∴這個(gè)圓形截面的半徑為10 cm.





15．如圖24－1－26，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A，B和C，D，連接OA，此時(shí)有OA∥PE.


(1)求證：AP＝AO；


(2)若弦AB＝10eq \r(2)，求點(diǎn)O到直線PF的距離；


(3)若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)(即P，A，B，C，D，O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為_(kāi)_________________．





圖24－1－26




















第15題答圖


解：(1)∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.


∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，


∴AP＝AO.


(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則AH＝HB，


∵AB＝10eq \r(2)，∴AH＝5eq \r(2)∵OA＝10，


∴OH＝eq \r(OA2－AH2)＝eq \r(102－（5\r(2)）2)＝5eq \r(2).


(3)P，A，O，C A，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B











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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

24.1.2 垂直于弦的直徑

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