類型之一 中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形


1．在下列圖中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是( B )





2．下列圖形：①平行四邊形；②菱形；


③圓；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦國(guó)旗上的五角星．這些圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有( B )


A．1種 B．2種 C．3種 D．4種


類型之二 圖形平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的計(jì)算問(wèn)題


3．如圖23－1，直角三角板ABC的斜邊AB＝12 cm，∠A＝30°，將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使點(diǎn)B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板A′B′C′平移的距離為( C )





圖23－1


A．6 cm


B．4 cm


C．(6－2eq \r(3))cm


D．(4eq \r(3)－6)cm


【解析】 過(guò)B′作B′D⊥AC，交AB于D，


則三角板A′B′C′平移的距離為B′D，


在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，


所以BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×12＝6，AC＝eq \r(AB2－BC2)＝6eq \r(3)，


由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知B′C＝BC＝6，所以AB′＝6eq \r(3)－6，


所以B′D＝eq \f(\r(3),3)AB′＝eq \f(\r(3),3)(6eq \r(3)－6)＝6－2eq \r(3).





圖23－2


4．如圖23－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的大小為_(kāi)_2α__．


類型之三 坐標(biāo)系中的圖形變換


5．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖23－3所示．


(1)將△ABC向右平移6個(gè)單位得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；


(2)將△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2.





圖23－3





第5題答圖


【解析】 (1)將△ABC向右平移6個(gè)單位即是將三點(diǎn)的橫坐標(biāo)加6；


(2)將△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°即是所畫圖形和原圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．


解：(1)如圖所示，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1，1)；


(2)如圖所示．


6．△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖23－4所示．


(1)作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱的△A1B1C1.


(2)將△A1B1C1向右平移4個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2.


(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使PA1＋PC2的值最小，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果)





圖23－4


解：(1)如圖所示：





(2)如圖所示：


(3)如圖所示：作出A1的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C2，交x軸于點(diǎn)P，可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \f(8,3)，0)．


類型之四 旋轉(zhuǎn)證明


7．如圖23－5所示，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5∶6∶7，則以PA，PB，PC的長(zhǎng)為三邊的三角形三個(gè)內(nèi)角的大小之比為( A )


A．2∶3∶4 B．3∶4∶5


C．4∶5∶6 D．5∶6∶7





圖23－5





第7題答圖


【解析】 如圖，把△APB繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AQC的位置，連接PQ，則PA＝QA＝PQ，QC＝PB，以PA，PB，PC為邊長(zhǎng)的三角形是△PQC.


由題意，知∠APB＝100°，∠BPC＝120°，∠CPA＝140°，所以∠QPC＝140°－60°＝80°.而∠AQC＝∠APB＝100°，所以∠PQC＝100°－60°＝40°，從而∠QCP＝60°.


故所求三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為2∶3∶4，選A.


8．如圖23－6，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，則P′A∶PB＝( B )


A．1∶eq \r(2) B．1∶2 C.eq \r(3)∶2 D．1∶eq \r(3)


【解析】 連接AP，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°，


又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.


在△ABP和△CBP′中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BP＝BP′，,∠ABP＝∠CBP′,AB＝BC，))


∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.


∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.


連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，


∴∠BP′P＝45°，PP′＝eq \r(2)PB.∵∠AP′B＝135°，


∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，


設(shè)P′A＝x，則AP＝3x，


根據(jù)勾股定理，PP′＝eq \r(AP2－P′A2)＝eq \r(（3x）2－x2)＝2eq \r(2)x，∴PP′＝eq \r(2)PB＝2eq \r(2)x，解得PB＝2x，


∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.故選B.





圖23－6





圖23－7


9．如圖23－7，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，連接BB′，則BB′的長(zhǎng)度為_(kāi)_eq \r(3)__．


10．某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，如圖(2)，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P.





圖23－8


(1)求證：AM＝AN；


(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由．


解：(1)證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，


∴AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F.


△ABM≌△AFN(ASA)，


∴AM＝AN；


(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形．


理由：連接AP，∵∠α＝30°，


∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，


∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，


∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，


∴四邊形ABPF是平行四邊形，


∵AB＝AF，


∴平行四邊形ABPF是菱形．








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