滿分：150分 時(shí)長(zhǎng)：120分鐘
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知向量，，若，，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示以及平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求得的值.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
，
因?yàn)椋瑒t，①
因?yàn)椋瑒t，可得，②
聯(lián)立①②可得，因此，.
故選：A.
2. 已知，則（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件，結(jié)合兩角差的正切公式求，利用商的關(guān)系將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為由表示的形式，代入可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得?br>所以，
故選：D.
3. 已知為銳角,，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用正切的和角公式得到，再利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，即可求解.
【詳解】由,，
則，
得到①，又為銳角，②，由①②解得，
故選：A.
4. 已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】，則，整理得，
而向量均為非零向量，則反向共線且，有；
反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 已知，，，
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用二倍角公式和兩角和差的余弦公式，結(jié)合的范圍求出，代入化簡(jiǎn)即可.
【詳解】，
即，則，
因，則，化簡(jiǎn)得，
即，即，
因，，則，，
故或，即（舍）或，
則
故選：B
6. 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，且，則（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】
【分析】由，結(jié)合向量線性運(yùn)算可得平分，即可得，再結(jié)合余弦定理及基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】由，則，即，
，
故，由、都為單位向量，故平分，
故，
則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，即有最小值.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助，結(jié)合向量線性運(yùn)算得到平分.
7. 平行四邊形中，，，，，垂足為，是中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件可得，，從而可求出,的長(zhǎng)，在中，求出和的值，進(jìn)而可求出
【詳解】解：因?yàn)?，，?br>所以，所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?br>所以，所以，，
所以，
所以在中，，
所以，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
，
故選：C
8. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，．若，的面積等于，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知條件可得，結(jié)合余弦定理可得，由正弦定理可得，則，再求出的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得答案
【詳解】因?yàn)榈拿娣e等于，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以由正弦定理?
可得，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以
故選：D
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列命題中，真命題的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則是直角三角形
C. 若，則是鈍角三角形
D. 若，則是等邊三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式和關(guān)系式的變換及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判定的結(jié)果．
【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)，
利用誘導(dǎo)公式，整理得或，
所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，整理得或，
故，或，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，必有一個(gè)負(fù)值，
假若為，則，
所以，故為鈍角三角形，故正確．
對(duì)于選項(xiàng)：由于，
所以，
故，
整理得，
所以為等邊三角形．
故正確．
故選：．
10. 已知向量，則（ ）
A. 若與垂直，則B. 若，則的值為
C. 若，則 D. 若，則與的夾角為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中向量的關(guān)系求得參數(shù)，再計(jì)算數(shù)量積、模、夾角．然后判斷各選項(xiàng)．
【詳解】A. 若與垂直，則，，正確；
B. 若，則，，，正確；
C. 若，，，正確；
D. 若，，，D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
11. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B．利用兩角和的正弦公式將條件展開，然后兩邊同除得到所滿足的等式，
結(jié)合基本不等式確定出和的取值范圍；
C．根據(jù)兩角和的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)C選項(xiàng)，從而可計(jì)算出的值并進(jìn)行判斷；
D．根據(jù)兩角和正切公式以及的取值范圍化簡(jiǎn)并計(jì)算出的取值范圍.
【詳解】由，得，
同除，得，
由，故，
則，
解得，取等號(hào)時(shí)，
注意到，
于是，故A，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合條件可得：
，
解得或，
但由AB選項(xiàng)可知都不可能成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
由知，，
∴，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若向量，滿足，，與的夾角為，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算直接算出答案即可.
【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，
所以
故答案為：
13. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，，要使該三角形有兩解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理直接判斷.
【詳解】要使三角形有兩解，由正弦定理，只需，
即，解得：.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：
14. 已知的三條邊，，滿足，，分別以邊，為一邊向外作正方形，如圖，分別為兩個(gè)正方形的中心其中，，三點(diǎn)不共線，則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查正余弦定理在三角形中的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及三角形的面積公式．在三角形中使用余弦定理，表示出的長(zhǎng)度，將邊和角度均用三角形的邊和角度來(lái)表示并化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，再利用三角形的面積公式計(jì)算出此時(shí)的面積值即可．
【詳解】解：連接和，
在三角形中，
，，
設(shè)，
由余弦定理得：
，①
又，
，②
在三角形中，
由余弦定理可得：，
解得：，③
將②，③代入①可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，的面積為：，
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，有兩條相交成的直路，，交點(diǎn)是，甲、乙兩人分別在，上行走，一開始，甲在距點(diǎn)的點(diǎn)處，乙在距點(diǎn)的點(diǎn)處，現(xiàn)在他們同時(shí)以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，設(shè)與同向的單位向量為，與同向的單位向量為．
（1）若過(guò)小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)，乙到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)用，表示
（2）若過(guò)小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)，乙到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)用，表示
（3）什么時(shí)間兩人間的距離最短
【答案】（1）
（2）
（3）過(guò)小時(shí)后兩人間的距離最短
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)乘向量的運(yùn)算以及向量的減法運(yùn)算即可；
（2）利用數(shù)乘向量的運(yùn)算以及向量的減法運(yùn)算即可；
（3）利用數(shù)量積以及求模公式，計(jì)算的最值.
【小問(wèn)1詳解】
若過(guò)小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)，乙到達(dá)點(diǎn)，
則，，
故．
【小問(wèn)2詳解】
若過(guò)小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)，乙到達(dá)點(diǎn)，
則，，
故．
【小問(wèn)3詳解】
，
則
當(dāng)時(shí)，有最小值，故過(guò)小時(shí)后兩人間的距離最短
16. 已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夾角為，，求在上的投影向量的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求參，再求模即可；
（2）先求出再求出數(shù)量積結(jié)合投影向量公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?
所以,
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?br>所以在上的投影向量為.
17. 如圖，在平面四邊形中，，，，．
（1）求四邊形的周長(zhǎng)；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式得到，再根據(jù)余弦定理得到及的值，即可求得周長(zhǎng)；
（2）根據(jù)三角形面積公式得到的面積，即可求得結(jié)果
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四邊形的周長(zhǎng)為；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以四邊形的面積為．
18. 由兩角和差公式我們得到倍角公式，實(shí)際上也可以表示為的三次多項(xiàng)式．
（1）試用表示
（2）求的值
（3）已知方程在上有三個(gè)根，記為，，，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用兩角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展開整理即可證明；
（2）利用第（1）問(wèn)的結(jié)論對(duì)進(jìn)行代換得到關(guān)于的方程，解出即可，最后注意檢驗(yàn).
（3）利用（1）中結(jié)論得到，再得到三根代入式子化簡(jiǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：（1）因?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
所以，
因?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>，
即
因?yàn)椋獾茫ㄒ焉幔?
【小問(wèn)3詳解】
（3）因,故可令，
故由可得:
由（1）得:，
因，故，
故,或,或
即方程的三個(gè)根分別為，
又，故，
于是，
【點(diǎn)睛】本題需要對(duì)兩角和差余弦即二倍角的余弦公式運(yùn)用熟練，推導(dǎo)出三倍角的余弦公式，再利用此公式進(jìn)行應(yīng)用證明后面的結(jié)論，計(jì)算和遷移應(yīng)用要求高.一定要抓住第（1）問(wèn)所證明的結(jié)論去證明.
19. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.
（1）求證：是直角三角形；
（2）已知，，點(diǎn)P，Q是邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P，Q不重合），記.
①當(dāng)時(shí)，設(shè)的面積為，求的最小值；
②記，.問(wèn)：是否存在實(shí)常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）①②存在，，
【解析】
【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式將化為，再利用兩角和差公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而判定三角形的形狀；
（2）①設(shè)，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面積公式和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；
②假設(shè)存在實(shí)常數(shù)，利用三角恒等變形得到恒等式，將其轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在中，因?yàn)椋?br>且，
所以，
即，
所以或者.
當(dāng)時(shí)，即，所以為直角三角形；
當(dāng)時(shí)，，
從而，因此，所以直角三角形.
綜上所述，是直角三角形.
【小問(wèn)2詳解】
解：①因?yàn)椋裕?br>又，，所以，.
如圖，設(shè)，，
則在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以，
因?yàn)椋裕?br>故當(dāng)，即時(shí)，.
②假設(shè)存在實(shí)常數(shù)，對(duì)于所有滿足題意的，
都有成立，
則存在實(shí)常數(shù)，對(duì)于所有滿足題意的，
都有.
由題意，是定值，
所以，是定值，
對(duì)于所有滿足題意的成立，
故有，
因，從而，
即，
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，
從而，.

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