單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．已知是冪函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
2．”是“函數(shù) 的一個對稱中心是”的（ ）條件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
3．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)的值是（ ）
A．和B．C．D．
5．若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．若在用二分法尋找函數(shù)零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，則實數(shù)和分別等于（ ）
A．B．2，3C．D．
7．“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明?《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大約經(jīng)過（ ）天后“進步”的是“退步”的2倍.請選出最接近的一項.（，，）（ ）
A．25B．30C．35D．40
8．已知定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.
9．下列命題中為真命題的是（ ）
A．命題，有，則的否定：，有
B．若，則
C．當時，則，使得成立
D．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
10．已知且，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為9B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為6
11．若時，不等式恒成立，則實數(shù)可取下面哪些值（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若扇形所對圓心角為，且該扇形面積為 ，那么該扇形的弧長為 cm.
13．設為實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的最小值為 .
14．設函數(shù)，若關于x的函數(shù)恰好有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知集合，，.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍.
16．計算：（1）；
（2）已知，試用表示.
17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．該圖象與軸交于點，與軸交于兩點， 為圖象的最高點，且的面積為．
(1)求的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間．
(2)若將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若，求的值．
18．已知函數(shù)fx,gx分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)fx,gx的解析式；
(2)設，對，使得，求實數(shù)的取值范圍.
19．若函數(shù)和的零點相同，則稱和是“函數(shù)對”.
(1)已知，判斷與是否為“函數(shù)對”，并說明理由；
(2)設，若與為“函數(shù)對”，求的取值范圍；
(3)已知m，n是實數(shù)，若函數(shù)與為“函數(shù)對”，函數(shù)與為“函數(shù)對”，求mn的值.
江蘇省揚州中學 2024-2025 學年第二學期 2 月自主學習效果評估
高一數(shù)學
單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．已知是冪函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
2．“”是“函數(shù) 的一個對稱中心是”的（ ）條件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
3．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題寫出結果即可.
【詳解】命題“”為存在量詞命題，而存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，
所以命題“”的否定為：“”.
故選：D.
4．已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)的值是（ ）
A．和B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，，由三角函數(shù)的定義可得出關于的方程，即可解出的值.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，則，
整理可得，因為，解得
故選：B.
5．若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
D
6．若在用二分法尋找函數(shù)零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，則實數(shù)和分別等于（ ）
A．B．2，3C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，結合二分法的定義和題設條件，得出方程組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以函數(shù)在至多有一個零點，
又由依次確定了零點所在區(qū)間為，
可得，即，解得.
故選：A.
7．“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明?《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大約經(jīng)過（ ）天后“進步”的是“退步”的2倍.請選出最接近的一項.（，，）（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可．
【詳解】假設經(jīng)過天，“進步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，即，
解得，
即經(jīng)過約35天，“進步者”是“退步者”的2倍．
故選：C．
8．已知定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構造定義在上的函數(shù)，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將題設不等式轉換為，再由函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性列出不等式組計算即可得解.
【詳解】令，
則函數(shù)定義域為關于原點對稱，
且，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，
所以不等式
，
因為函數(shù)和在上均為增函數(shù)，
所以函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，
所以，
所以不等式的解集是.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.
9．下列命題中為真命題的是（ ）
A．命題，有，則的否定：，有
B．若，則
C．當時，則，使得成立
D．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
【答案】AC
10．已知且，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為9B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為6
ACD
11．若時，不等式恒成立，則實數(shù)可取下面哪些值（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由排除法和對數(shù)的運算性質(zhì)，對各個選項一一判斷可得正確答案．
【詳解】當時，時，，不等式不恒成立，
故A錯誤；
當時，不等式即為，當，，時，
原不等式恒成立；時，原不等式恒成立，故B正確；
當時，不等式即為，當，，時，
原不等式恒成立；時，原不等式恒成立，故C正確；
當時，不等式即為，當時，，，
原不等式不恒成立，故D錯誤．
故選：BC.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若扇形所對圓心角為，且該扇形面積為 ，那么該扇形的弧長為 2 cm .
2
13．設為實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，依題意可得，解得即可.
【詳解】由，所以，
依題意可得，解得，所以的最小值為.
故答案為：
14．設函數(shù)，若關于x的函數(shù)恰好有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，，.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）時，
∴
（2）
∵“”是“”的必要條件∴∴∴
16．計算：（1）.
（2）已知，試用表示；
【答案】（1）3（2） ；
【詳解】（1）原式.
（2）由，得由得，
.
17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．該圖象與軸交于點，與軸交于兩點， 為圖象的最高點，且的面積為．
(1)求的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間．
(2)若將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若，求的值．
（1）設的最小正周期為．由題意知，的高為2．又∵的面積為，∴，可得．
∵，∴，．
∵圖像與y軸交于點，∴，即．
∵，∴，
故的解析式為．
令，，得，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．．
（2）根據(jù)題意，將的圖像向右平移個單位長度，
可得的圖像，
再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），
可得的圖像．由（），得，
∴．又∵，，
∴，，
18．已知函數(shù)fx,gx分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)fx,gx的解析式；
(2)設，對，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意 ①，
所以 ，
函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，
所以所以 ②，
由①②解得，；
（2），由，則 ，
所以的值域為-1,1，
，
，
設，根據(jù)知為增函數(shù)，若，則，
則，
若，則在上單調(diào)遞增，
則，即，
因為對，使得，
則，所以，解得，所以；
若， 則，即，
則，解得，所以，
綜上所述，若對，使得，則.
19．若函數(shù)和的零點相同，則稱和是“函數(shù)對”.
(1)已知，判斷與是否為“函數(shù)對”，并說明理由；
(2)設，若與為“函數(shù)對”，求的取值范圍；
(3)已知m，n是實數(shù)，若函數(shù)與為“函數(shù)對”，函數(shù)與為“函數(shù)對”，求mn的值.
【答案】(1)不是，理由見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
因為，所以函數(shù)在上有唯一零點，
當時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，
，即，
所以函數(shù)在上沒有零點，不符合題中定義，和不是“函數(shù)對”；
（2）由得，，
，所以的零點是的零點，
由得，，
當時，，所以為的零點
而當時，必須使得無解，
否則的一些零點不能使得，
所以對成立，
所以，得，此時的零點也全是的零點，綜上.
（3）由，
因為函數(shù)與為“函數(shù)對”，
所以，取對得，
由，
因為函數(shù)與為“函數(shù)對”，
所以有，
因為在上單調(diào)遞增，所以，即.

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