一、單選題（每小題5分，共8小題）
1. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)二倍角的余弦公式運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>故選：D.
2. 下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用給定最小正周期及單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，的圖象可由的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，
故其最小正周期為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，A是；
對(duì)于B，由A的分析同理可知的最小正周期為，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，B不是；
對(duì)于C，的最小正周期為，在上單調(diào)遞減，C不是；
對(duì)于D，的最小正周期為，D不是.
故選：A
3. 為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A. 向左平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位
C. 向右平移個(gè)單位D. 向右平移個(gè)單位
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移原則即可得到答案.
【詳解】，
則把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位即可，
故選：A.
4. 已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)投影向量的定義，即可求得答案.
【詳解】由題意知平面向量，
故在上的投影向量為，
故選：B
5. 已知向量，，，滿足與互為相反向量，，，，則（ ）
A. 2B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知，在向量等式的兩邊，同時(shí)平方，同時(shí)點(diǎn)乘向量，都將向量問題數(shù)量化，構(gòu)造方程組可解.
【詳解】與互為相反向量， ，
得兩邊平方得，，
即，①
又由，在兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量，
得，即，②
聯(lián)立①②，解得.
故選：D.
6. 已知，則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用兩角和與差的三角函數(shù)，將，然后兩邊同除以，再利用求解.
【詳解】由，
得，
兩邊同除以，
得
所以，
故選：A．
7. 若函數(shù)在處取得最大值，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的值，再根據(jù)平移變換求出的最小值.
【詳解】因?yàn)闀r(shí)函數(shù)取得最大值，則，解得.
所以，
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，
，函數(shù)為奇函數(shù)，則，
所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.
故選：D.
8. 如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得，進(jìn)一步由可得，將它們代入函數(shù)表達(dá)式結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】依題意則得 ，
即，所以,；
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以,，解得,；
因此
,，
可得，結(jié)合圖象可得，解得.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用點(diǎn)的位置特征以及向量關(guān)系式，得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式計(jì)算可得結(jié)果.
二、多選題（每小題6分，共3小題）
9. 已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. 向量，在上投影向量相等D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】作向量，在中，，，
由向量平分與的夾角，得是菱形，即，
對(duì)于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，即，B正確；
對(duì)于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，不一定為0，則與不一定相等，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 直線為的圖象的一條對(duì)稱軸
D. 在區(qū)間上的值域?yàn)?br>【答案】ACD
【解析】
【分析】利用，即可判斷A選項(xiàng)；利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷B選項(xiàng)；利用判斷C選項(xiàng)；根據(jù)時(shí)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由函數(shù)的部分圖象知，，解得；因?yàn)?，所以，A正確；
由五點(diǎn)法作圖結(jié)合圖象可知，解得，所以；
時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，B不正確；
因?yàn)?，所以直線為的圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；
時(shí)所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，D正確，
故選：ACD.
11. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，定義：，對(duì)于函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
C. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】AD
【解析】
【分析】由三角函數(shù)定義，整理函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，可得A的正誤；建立方程，利用同角三角函數(shù)的商式，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得B的正誤；由A可得函數(shù)對(duì)稱性，結(jié)合圖象變換，可得C的正誤；利用分離常數(shù)項(xiàng)整理函數(shù)解析式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得D的正誤.
【詳解】由題意可得，，
則，，可得，
所以，
對(duì)于A，由，
則點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；
對(duì)于B，由，則，整理可得，
化簡(jiǎn)可得，易知存在唯一，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由A可知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，
則函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得，
函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：AD.
三、填空題（共3小題）
12. 若為銳角，，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的平方式，結(jié)合題意，求得余弦值，利用正弦和角公式，可得答案.
【詳解】由題意可得，
則.
故答案為：.
13. 如圖，在四邊形中，分別為的中點(diǎn)，，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】連接、，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】連接、，所以，，
又、分別為、的中點(diǎn)，
所以，
所以
．
故答案為：
14. 在中，，的最大值為．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為______．
【答案】2
【解析】
【分析】由已知在中，，由利用不等式可得，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與區(qū)間的關(guān)系列不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，故為銳角，
且，
又，
所以，所以的最大值為，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，
函數(shù)，
因?yàn)?，所以?br>要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題（共5小題）
15. 已知向量，，且與垂直．
（1）求的值；
（2）求與的夾角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，解之即可；
（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可得出的值.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄?，，則，
因?yàn)榕c垂直，則，解得.
【小問2詳解】
由（1）得，所以，，，
所以，，
因?yàn)?，?
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍的正切公式故兩角和的正切公式求解；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式求得，進(jìn)而利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
，
．
【小問2詳解】
∵，且，
∴，得，
∵，∴，
∵，，∴，
∴.
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)最小正周期和值域；
（2）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式及兩角和的正弦化簡(jiǎn)變形，再由周期公式求得周期，結(jié)合正弦函數(shù)的值域求得原函數(shù)值域；
（2）由已知求得sinB，再由f（A）＝2求得A，結(jié)合sinC＝sin（A+B），展開兩角和的正弦求解．
【詳解】（1）
，
所以，的最小正周期，值域?yàn)椋?
（2）由，得，
因?yàn)?，所以，故，?
因?yàn)樵凇髦?，，所以?
所以，
．
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查函數(shù)的周期及其最值的求法，訓(xùn)練了兩角和的正弦的應(yīng)用，是中檔題．
18. 如圖，在等腰梯形中，，，為線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）用基底表示；
（2）求的值；
（3）設(shè)，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法一：由平面向量的線性運(yùn)算法可得，，結(jié)合可得出關(guān)于的表達(dá)式，再由可得結(jié)果；
解法二：將表示為的表達(dá)式，將表示為的表達(dá)式，代入可得結(jié)果；
（2）設(shè)，，將表示為基底的表達(dá)式，結(jié)合平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出的值，即可得出的值；
（3）設(shè)，將表示為的表達(dá)式，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于的表達(dá)式，求出的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
解法一：由向量的線性運(yùn)算法則可得①，②，
因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，則，由題意可得，
①②得，整理得：，
則
解法二：因?yàn)棰伲?br>②，
將②代入①得.
【小問2詳解】
由與交于點(diǎn)，設(shè)③，
設(shè)，可得，即④，
由③④得，消去得，所以，即.
【小問3詳解】
由題意，可設(shè)，
代入中并整理可得.
又，故，可得.
因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，
所以，，，
所以的取值范圍為.
19. 材料1：在三角形中有一個(gè)非常重要的定理，其探究的情景基于角所對(duì)的邊分別為的銳角，作的外接圓，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)D，連接，則為直角三角形，且可推出對(duì)任意都有．
材料2：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：
①當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，滿足的點(diǎn)O為費(fèi)馬點(diǎn)；
②當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．
請(qǐng)用以上材料解決下面的問題：
（1）根據(jù)材料1的情景，當(dāng)銳角中角所對(duì)的邊分別為時(shí)，求證：；
（2）已知是平面內(nèi)任意一個(gè)向量，向量滿足，且，則的最小值；
（3）已知點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，且，若，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)關(guān)系得到，證明出結(jié)論；
（2）設(shè)出向量，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到，，的距離之和最小問題，找到為的費(fèi)馬點(diǎn)，求出最小值；
（3），設(shè)，，由得，在中，由余弦定理和勾股定理得到，由基本不等式求出最小值.
【小問1詳解】
因?yàn)闉橹睆?，所以?br>在中，，
又，所以，
連接，同理在中，，
又，所以，
連接并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，連接，則，
在中，，
又，所以，
又，所以，
即；
【小問2詳解】
不妨設(shè)，，
則，
上式可以看成點(diǎn)到，，的距離之和，
顯然為銳角三角形，要想距離之和最小，只需找到費(fèi)馬點(diǎn)，
在上取點(diǎn)，此時(shí)，故，
同理，故，所以，
點(diǎn)即為的費(fèi)馬點(diǎn)，
所以，
則的最小值為；
【小問3詳解】
由于為直角三角形，故，
設(shè)，，
由得，
在中，由余弦定理得
，
同理，在中，由余弦定理得，
在中，，
因，
所以，
即，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，解得或（舍去），
所以的最小值為

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