一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由A、B的坐標求得，再求出即可.
【詳解】因為，
所以，
所以與同向的單位向量為.
故選：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導公式與兩角差的正弦公式化簡求值.
詳解】
.
故選：A.
3. 在中，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再由誘導公式得到，利用兩角和的正弦公式計算可得.
【詳解】因為，，所以，又，
所以
.
故選：C
4. 在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.
【詳解】
如圖，因，則，即，
解得：.
故選：A.
5. 已知，，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由結(jié)合兩角差正切公式求得.
【詳解】由
得，
故選：A.
6. 若兩個向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用數(shù)量積公式求出，然后由數(shù)量積定義可得夾角；
【詳解】因為，
，
，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以.
故選：B.
7. 公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”.“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題知,再根據(jù)二倍角公式化簡整理即可得答案.
【詳解】解:因為，,
所以,
所以
故選:C
8. 在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，且.若角的平分線交于點，且.則的最小值為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，從而可得，再由，根據(jù)三角形的面積公式可得，即，再由基本不等式即可求解.
【詳解】由利用正弦定理化邊為角可得：，
因為，，所以，即，
因為，所以.
因為角的平分線交于點，所以，
所以，
所以，即，所以，
當且僅當，，即，時，等號成立，
所以的最小值為，
故選：D
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，且，則
B. 已知為單位向量，若，則在上的投影向量為
C. 設(shè)為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件
D. 若，則與的夾角是銳角
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量的運算法則可判斷A，利用投影向量的求法可判斷B，利用數(shù)量積的含義可判斷C,D.
【詳解】因為，所以，即，不一定得出，A不正確；
在上的投影向量為，B正確；
若存在負數(shù)，使得，則，若，則，
不能得出“存在負數(shù)，使得”，C正確；
若，則，與的夾角不一定是銳角，D不正確.
故選：BC
10. 對于有如下命題，其中正確的是（ ）
A. 若，則為鈍角三角形
B. 在中，若，則必是等腰三角形
C. 在銳角中，不等式恒成立
D. 若，且有兩解，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】A將化為，再利用正弦定理和余弦定理化簡；B利用角的范圍以及正弦函數(shù)圖象即可；C利用以及正弦函數(shù)的單調(diào)性；D畫出圖形，數(shù)形結(jié)合.
【詳解】，則，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角為鈍角，故A正確；
，則，由可得或，即或，故B錯誤；
銳角有，因，則，由于在上單調(diào)遞增，則sinA>sinπ2?B=csB，故C正確；
由圖可知，欲使有兩解，則，故D錯誤.
故選：AC
11. 已知，則（ ）
A. 、，使得
B. 若，則
C. 若，則
D. 若、，則的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】由無解可判斷A；根據(jù)題意求得，結(jié)合兩角差的正弦公式，可判定B；結(jié)合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C；化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可判定D.
【詳解】對于A，若，由可得，
即，解得，
又因為，所以，所以方程無解，故A錯誤；
對于B，因為，
所以，即，
因為，所以，
所以，故B正確；
對于C，由選項B可知，，
所以，故C正確；
對于D，因為，，
所以，
令，則在上單調(diào)遞減，無最小值，
所以在上無最大值，故D錯誤.
故選：BC
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.
12. __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用切化弦，再利用兩角和正弦公式即可求解.
詳解】
故答案為：.
13. 已知圓內(nèi)接四邊形中， 則四邊形的面積為 .
【答案】
【解析】
【詳解】連接BD,圓內(nèi)接四邊形對角互補，，利用余弦定理,
得
∴,
四邊形面積.
故答案為：.
14. 如圖，在平面四邊形中，，，，且，則___________，若是線段上的一個動點，則的取值范圍是___________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得；設(shè)，將和化為、、表示，利用定義求出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識可求得結(jié)果.
【詳解】因為，，所以為正三角形，所以，，
因為，所以，
因為，所以，所以.
因為是線段上的一個動點，所以可設(shè)，
所以
，
因為，所以時，取得最小值，當時，取得最大值，
所以的取值范圍是.
故答案為：4；
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將和化為、、表示，利用定義求出是解題關(guān)鍵.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，，且．
（1）若向量與互相垂直，求的值．
（2）若向量與互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及已知條件代入求解即可．
（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小問1詳解】
，，
，，即，得，
若向量與互相垂直，則，
即得，
，解得或.
【小問2詳解】
由，所以，所以不共線，
由向量與互相平行，
可知存在實數(shù)，使得，
，解得，
當時，；當時，.
或.
16. 如圖，在中，，E是AD的中點，設(shè)，.

（1）試用，表示；
（2）若，與的夾角為，求
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運算即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的模公式和向量的數(shù)量積公式即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以.
所以.
因為E是AD的中點，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以
，
所以
17. 在中，設(shè)角所對的邊分別為.
（1）求；
（2）若點M為邊AC上一點，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和與二倍角公式，求得半角三角函數(shù)值，從而可得答案；
（2）由銳角三角函數(shù)表示邊，根據(jù)余弦定理求得邊，利用三角形面積公式，可得答案.
【小問1詳解】
由，根據(jù)，則，
由正弦定理，則，由，則，
可得，由，即，則，
可得，，則.
所以.
【小問2詳解】
在中，，，則，，
由，且，則，
由余弦定理可得，則，解得，即，
所以的面積.
18. 已知向量，設(shè).
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若，求的值；
（3）令函數(shù)，求值域.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化簡的解析式，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）根據(jù)三角恒等變換的知識求得.
（3）化簡的解析式，進而求得的值域.
【小問1詳解】
，
由，
解得，
所以的單調(diào)增區(qū)間是.
【小問2詳解】
，所以.
因為，所以，在這個區(qū)間內(nèi).
所以.
.
【小問3詳解】
,
，
因為，所以，
則.
所以的值域是.
19. 設(shè)為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為.向量稱為函數(shù)的“相伴向量”.
（1）記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)與直線有且僅有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知點滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當點運動時，求的取值范圍；
（3）當向量時，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，若，求在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）去絕對值得函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用交點個數(shù)求得k的范圍；
（2）由可求得時，取得最大值，其中，換元求得的范圍，再利用二倍角的正切可求得的范圍．
（3）先求得，由，得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分類討論求出函數(shù)的最值。進而可得出答案.
【小問1詳解】
由題知：，
，
由，得，
令，得，令，得，
由，得，
令，得，令，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
且，
如圖，
∵圖像與有且僅有四個不同的交點，
所以實數(shù)k的取值范圍為；
【小問2詳解】
，
其中，
，
∴當即時，取得最大值，
此時，
令，則由，顯然，
則，解得，
，
因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以；
【小問3詳解】
由題意，
則，
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值之差為，
由，得，
①當，即時，
又，所以時，
，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以；
②當，即時，
又，所以時，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以；
③當，即時，
又，所以時，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以；
④當，即時，
又，所以時，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以；
⑤當，即時，
又，所以時，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以；
⑥當，即時，
又，所以時，
，
所以，
因為，所以，
所以，所以.
綜上所述，，
所以在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍為.

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