2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（    ）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：C.2．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得，由此可以求出的值.【詳解】由題得：，故，而，所以.故選：B.3．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘向量的幾何意義，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及圖象，即可判斷A、B、C項(xiàng)；根據(jù)幾何關(guān)系得出，，根據(jù)數(shù)量積的定義，即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>是邊的中點(diǎn)，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?/span>是邊的中點(diǎn)，所以，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，分別是邊，的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?/span>反向，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，分別是邊，，的中點(diǎn)，所以，且,，且，所以，，.因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選：D.4．如圖，是的斜二測(cè)直觀圖，其中，斜邊，則的面積是（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由直觀圖得到原圖可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，且，所以的面積是.故選：D.5．已知向量，，，則實(shí)數(shù)（    ）.A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【分析】由已知求出，，.由已知可得，展開代入，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，.因?yàn)?/span>，所以，，所以有，所以，，解得.故選：D.6．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，下列說(shuō)法中不正確的是（    ）A．平面 B．C．與所成角為45° D．平面【答案】D【分析】連接，，由中位線定理以及線面平行判定判斷A；由平面證明；由，得出與所成角；由與不垂直判斷D.【詳解】對(duì)于A：如圖，連接，.在正方形中，為的中點(diǎn),，即也為的中點(diǎn)，在中，分別為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，故A正確；對(duì)于B：平面，，，故B正確；對(duì)于C：，，與所成角為，故C正確；對(duì)于D：連接，，，與不垂直，即與不垂直，則不垂直平面，故D錯(cuò)誤；故選：D7．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合平方差公式以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】，即.所以.所以.故選：B8．淮陰中學(xué)高一年級(jí)的全體同學(xué)參加了主題為《追尋紅色足跡，青春在歷練中閃光》的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).在參觀今世緣酒業(yè)廠區(qū)時(shí)，有一個(gè)巨大的方鼎雕塑.若在、處分別測(cè)得雕塑最高點(diǎn)的仰角為30°和20°，且，則該雕塑的高度約為（    ）（參考數(shù)據(jù)）A．4.92 B．5.076 C．6.693 D．7.177【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理先求出BD，再求出AD.【詳解】在中，由正弦定理得：，在中，；故選：A. 二、多選題9．已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分別求得的值判斷選項(xiàng)A；利用向量垂直充要條件判斷選項(xiàng)B；分別求得的值判斷選項(xiàng)C；利用向量平行充要條件判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，則，，則.選項(xiàng)A：，則.判斷正確；選項(xiàng)B：，則.判斷正確；選項(xiàng)C：，則，則不一定成立.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，，則不一定成立.判斷錯(cuò)誤.故選：AB10．已知空間中的平面，直線，，以及點(diǎn)，，，，則以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（    ）A．在空間中，四邊形滿足，則四邊形是菱形.B．若，，則.C．若，，，，，，則.D．若和是異面直線，和是平行直線，則和是異面直線.【答案】ABD【分析】舉特例即可說(shuō)明A、D錯(cuò)誤；根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷B；由已知結(jié)合基本事實(shí)2，即可得出C.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，正四面體的各個(gè)棱長(zhǎng)均相等，但顯然不是菱形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則或與相交，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，即直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)基本事實(shí)2可知，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖正方體中，和異面，，但是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.11．漫步在江蘇省淮陰中學(xué)沒(méi)理的校園中，最著名的景點(diǎn)是光榮之門，四面石墻圍繞著噴泉，可近似的看作是正八邊形的一半.在此圖形中.在五邊形中，，以下結(jié)論正確的是（    ）A．.B．C．在上的投影向量為.D．點(diǎn)者線段上，且，則的最大值是.【答案】ACD【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，則且，，，， A正確；，所以 ，B錯(cuò)誤；又，，所以，即在向量上的投影向量為，C正確；若在線段（包括端點(diǎn)）上，設(shè)，，所以，，由，可得，則，故，所以，D正確.故選：ACD.12．已知，且，，是在內(nèi)的三個(gè)不同零點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，解出，，，即可判斷選項(xiàng)A、B，將根據(jù)誘導(dǎo)公式化為，分子分母同乘，結(jié)合倍角公式即可判斷C，將分子分母同乘，結(jié)合積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可判斷D.【詳解】由題知，，是的三個(gè)根，可化為，即，所以可得或，，解得或，，因?yàn)?/span>，所以或或，故可取，，， 所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C正確；而，根據(jù)積化和差公式：，所以原式可化為：，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，屬于中難題，關(guān)于化簡(jiǎn)問(wèn)題常用的思路有：（1）利用誘導(dǎo)公式將角化為關(guān)系比較接近的；（2）遇見的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化簡(jiǎn)；（3）積化和差公式：，，，. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在射線上，且，則的虛部為______【答案】【分析】依題意可設(shè)復(fù)數(shù)，再根據(jù)得到方程，解得即可.【詳解】依題意可設(shè)復(fù)數(shù)，由得，解得（舍去），所以，所以的虛部為.故答案為：.14．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則等于___【答案】/【分析】先利用條件求得，求得最小正周期為4，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，，即，可得，則，又，則，過(guò)點(diǎn)B作于E，則，，則，則，故答案為：15．正方體的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)，，分別是，，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所截面的周長(zhǎng)為___【答案】【分析】先作出平面截正方體所得截面，進(jìn)而求得該截面的周長(zhǎng).【詳解】連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于Q，則過(guò)Q作，交于H，交于K，則，過(guò)K作，交于T，連接，則六邊形即為平面截正方體所得截面，又均為棱的中點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為故答案為：16．中，，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn).若面積為面積的一半，則的最小值為______【答案】2【分析】利用平面向量的共線定理結(jié)合基底表示數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，由向量共線的充要條件不妨設(shè)，則，即，又面積為面積的一半可得：，所以.，易知當(dāng)時(shí)，即重合時(shí)取得最小值.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)共線及向量間的關(guān)系，設(shè)、、得到，面積關(guān)系得，最后應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律轉(zhuǎn)化數(shù)量積為關(guān)鍵. 四、解答題17．己知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且是實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)且，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合題意得到，即可求解；（2）由，求得，根據(jù)題意得到且，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)，其中且，可得，因?yàn)?/span>為實(shí)數(shù)，可得，解得，即.（2）解：由，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，可得且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．（1）求的值域（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）令，根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出所求值域；（2）令，結(jié)合立方和公式得出，進(jìn)而得出的取值范圍.【詳解】（1）令，則，即，其中，所以.即，則，，解得.即的值域?yàn)?/span>.（2）令，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得.即的取值范圍為.19．《九章算術(shù)，商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”陽(yáng)馬是指底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，已知四棱錐為一個(gè)陽(yáng)馬，面，是上的一點(diǎn).(1)求證：；(2)若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證得面，進(jìn)而證得；（2）利用線面平行判定定理即可證得平面【詳解】（1）面，面，則，又，，面，則面，又面，則（2）取中點(diǎn)T，連接，又，則，又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.20．在中，的對(duì)邊分別為，且.(1)若，求的值；(2)若，點(diǎn)在線段上，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式，求得，得到，再由，求得，進(jìn)而求得時(shí)，結(jié)合余弦定理，即可求解.（2）由點(diǎn)在線段上，且滿足，得到為角平分線，利用三角形的內(nèi)角平分線定理求得，利用，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，由正弦定理得，即，可得，又因?yàn)?/span>，可得，即，由，可得，可得，可得，又由，所以或，即或當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?/span>，所以，不符合題意，舍去；所以時(shí)，此時(shí)，由余弦定理得，綜上可得，的值為 .（2）解：由（1）知，即且，可得，，又由點(diǎn)在線段上，且滿足，因?yàn)?/span>分別是和同向的單位向量，所以為角平分線，由三角形的內(nèi)角平分線定理，可得，即，在中，可得，所以，因?yàn)?/span>，可得，所以，所以，即向量的取值范圍是.21．在直角中，，，，為邊上一點(diǎn)，且.(1)若上一點(diǎn)滿足，且，求的值.(2)若為內(nèi)一點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由結(jié)合平面向量的減法可得出關(guān)于的表達(dá)式，由可得出，可得出關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，可得出，分析可得，其中，設(shè)，，利用平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本知識(shí)以及正弦型函數(shù)的值域可求得的最小值.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則，即，因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)?/span>，則，，故.（2）解：在中，，，，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，則，可得，設(shè)，若點(diǎn)在上且使得，且為的中點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以，，則，，，，，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，則，故當(dāng)時(shí)，取最小值.22．已知復(fù)數(shù)的三角形式為.(1)若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°，得到向量恰好在軸正半軸上，求復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.(2)若的實(shí)部為，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，只有最小值而無(wú)最大值？若存在這樣的的值，則求出此時(shí)使取得最小值的的值；若不存在這樣的的值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，時(shí). 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算及幾何意義得出，再由的實(shí)部為，即可得出答案.（2）由題表示出，令，分析，進(jìn)而判斷的最值問(wèn)題，即可得出答案.【詳解】（1）把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°，所得向量，因，，因?yàn)橄蛄?/span>恰好在軸正半軸上，則，解得，，故復(fù)數(shù).（2）存在，時(shí)，理由如下：由題知，，因的實(shí)部為，則，令，則，易得在上單調(diào)遞減，又為正整數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因，則，則要使得只有最小值而無(wú)最大值，只需要即可，即，即，當(dāng)時(shí)，，，不符合只有最小值無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，，因，則，又為正整數(shù)，則，所以，此時(shí)，當(dāng)取得最小時(shí)，易得，即，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考察復(fù)數(shù)及其三角形式，計(jì)算復(fù)數(shù)的模和輻角主值是解答的關(guān)鍵，特別注意：中，為的模，是的輻角，中的輻角，叫做的輻角主值，記作，顯然. 

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