考試用時120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)的定義求得，再由求解.
【詳解】因為角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，
所以，
所以，
故選：C
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
3. 已知，，則的值為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】
所以 ，選D.
4. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角的商數(shù)關系、輔助角公式、兩角和的余弦公式及二倍角公式化簡即可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
5. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】證明，求出，根據(jù)即可求解.
【詳解】，
，
，，
故選：
6. 已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件：
【答案】B
【解析】
【分析】以為整體，結合正弦函數(shù)對稱性解得，進而根據(jù)包含關系分析充分、必要條件.
【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，
因為，且，則，
則，解得，
又因為是的真子集，
所以“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，將其圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．的頂點都是與圖象的公共點，則面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質得到的解析式，從而作出的部分圖像，聯(lián)立的方程求得的坐標，再結合圖像即可得到的高為，其底邊最短時為，從而得解.
【詳解】因為將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)，
所以，故的部分圖像如下，
，
不妨記的圖像在軸正半軸的交點依次為，在軸負半軸的第一個交點為，
由三角函數(shù)的性質易得，即的高是一個定值，其值為到的距離，
聯(lián)立，得，即，
則，即，故，所以，
當時，，即，
當時，，即，
當時，，即，
所以，
因此要使得面積最小，只需使得的底邊最短即可，
顯然是與圖象的公共點中，作為的底邊時，長度最小的邊長之一，此時，
所以.
故選：B.
8. 已知，函數(shù)滿足，且在區(qū)間上恰好存在兩條對稱軸，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知條件得出周期的范圍，即得的范圍，由得函數(shù)圖象的一個對稱中心是，則，結合的范圍可得答案.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則，
在區(qū)間上恰好存在兩條對稱軸，，
所以，即，解得，
因為，所以，
所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，
則，得，即，
因，則，且隨的增大而增大，
當時，，當時，，
則的最大值為.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列式子化簡正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用誘導公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項A；利用輔助角公式可判斷選項B；利用誘導公式及二倍角正弦公式可判斷選項C；利用及兩角差的正切公式可判斷選項D.
【詳解】對于選項A：因為
，故選項A錯誤；
對于選項B：
，故選項B正確；
對于選項C：因，故選項C正確；
對于選項D：因為，故選項D錯誤.
故選：BC.
10. 已知實數(shù)滿足，則下列結論中一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，由條件變形即可得；對于B，由條件得x的范圍，進而構造三角函數(shù)求值域即可得；對于C，分析與大小，作差即可得；對于D，通過余弦函數(shù)單調性質比較大小即可得.
【詳解】對于A，因為，得，即，A正確；
對于B，，因為，
得，，
，，B正確；
對于C，由B分析可知：，
，
，即大小不定，C錯誤；
對于D，由B，，，，
從而得，
在遞減，，D正確.
故選：ABD.
11. 已知為上的奇函數(shù)，且當時，，記，下列結論正確的是（ ）
A. 為奇函數(shù)
B. 若的一個零點為，且，則
C. 在區(qū)間的零點個數(shù)為個
D. 若大于的零點從小到大依次為，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A，利用奇函數(shù)的性質可判斷B，數(shù)形結合作出函數(shù)的圖象，通過交點個數(shù)可判斷C，根據(jù)的圖象確定大于的零點的取值范圍即可判斷D.
【詳解】因為，
所以為奇函數(shù)，A正確；
假設，則，
此時，
所以當時，，
當時，，
當時，，則，
由于的零點為，所以，
所以，B正確；
當時，令，
大于零的零點為的交點，由圖可知，
函數(shù)在有2個零點，
由于為奇函數(shù)，所以在有1個零點，
且，
所以在區(qū)間的零點個數(shù)為個，C錯誤；
由圖可知，大于1的零點，，
所以，而，所以，D正確.
故選:ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)在一個周期內的圖象如圖所示．已知點是圖象上的最低點，是圖象上的最高點．記（均為銳角），______．
【答案】
【解析】
【分析】結合圖象計算周期即可得出點坐標，然后計算，利用二倍角公式計算，最后利用兩角和差的正切公式計算.
【詳解】和在圖象上，則，則，
則點的橫坐標為，
因是圖象上的最低點，則，
則
則，
則.
故答案為：.
13. 已知，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用兩角和差的正弦公式將條件展開化簡即得，再將化為，利用兩角和差的余弦公式展開即可.
【詳解】由
得
故答案為：
14. 若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．
【答案】
【解析】
【分析】以為變量，結合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結合題意得，由此可得答案.
【詳解】因為恒成立，
即恒成立，
若存在實數(shù)，使得上式成立，則，
則，
可得，可得，
解得，
由，
則取得最大值時，
此時
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：雙變量問題的解題關鍵是一次只研究其中一個變量，本題先以為變量，轉化為存在性問題分析求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知．
（1）若，均為銳角，滿足，求．
（2）若，求；
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)誘導公式和倍角公式可得，結合題干分析求解；
（2）根據(jù)題意可得，結合兩角和差公式運算求解.
【小問1詳解】
因為，即，
則，
且，，均為銳角，則，
可得，解得，
所以.
【小問2詳解】
因為，即，可得，
又因為，則，
可得，則，
所以.
16. 已知函數(shù).
（1）求在上的單調遞增區(qū)間；
（2）若，，求的值；
（3）請在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)和在上的圖象（不要求寫作法）；并根據(jù)圖象求曲線和的交點個數(shù).
【答案】（1），
（2）
（3）作圖見解析，交點個數(shù)為
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調性可求得函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間；
（2）由已知條件求出的值，由同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用兩角和的正弦公式可求得的值；
（3）作出兩個函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可得出兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).
【小問1詳解】
因為，
當時，，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
因為，可得，
因為，則，
所以，，
因此，
.
【小問3詳解】
當時，，
在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)和在上的圖象如下圖所示：
由圖可知，曲線和在上交點個數(shù)為.
17. 如圖，有一條寬為的筆直的河道（假設河道足夠長），規(guī)劃在河道內圍出一塊直角三角形區(qū)域（圖中）養(yǎng)殖觀賞魚，，頂點A到河兩岸的距離兩點分別在兩岸上，設.
（1）若，求養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值；
（2）現(xiàn)擬沿著養(yǎng)殖區(qū)域三邊搭建觀賞長廊（寬度忽略不計），若，求觀賞長廊總長的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題可得，再利用基本不等式即得；
（2）由題可知，利用同角關系式可轉化為，然后利用函數(shù)的單調性即求.
【小問1詳解】
當時，，
所以，
又因為（當且僅當時等號成立），
所以，
于是，
因此，養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值為.
【小問2詳解】
由題意，，
所以，
所以的周長，
其中.
設，則，
所以.
所以，
于是當時，，即，
因此，觀賞長廊總長的最小值為.
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，求函數(shù)的對稱軸方程；
（3）在第（2）問的前提下，對于任意，是否總存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出實數(shù)的值或取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由題知，，求出從而得的值，將特殊點代入函數(shù)中求出，即可解決問題；
（2）根據(jù)函數(shù)伸縮變換與平移變換后的到新函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求對稱軸即可；
（3）假設存在實數(shù)的值或取值范圍滿足題意，根據(jù)所給條件先由，得，再根據(jù)所給的角把范圍求出來，根據(jù)范圍的包含關系列出不等式解出即可.
【小問1詳解】
由圖可知，
，則，，
所以，.
所以，即
又，所以當時，，
所以.
【小問2詳解】
將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，
得：，
再向右平移個單位長度得到：
，
令，，解得，，
所以函數(shù)的對稱軸為，.
【小問3詳解】
由，得，
由，得，
所以，
所以.
又，得，
所以.
由題可知，
得，解得，
所以存在，使得成立.
19. 定義有序實數(shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”為．
（1）記有序數(shù)對(1,－1)“跟隨函數(shù)”為f(x)，若，求滿足要求的所有x的集合；
（2）記有序數(shù)對(0,1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若函數(shù)與直線有且僅有四個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）已知，若有序數(shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”在處取得最大值，當b在區(qū)間(0,]變化時，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）寫出解析式，解方程即可；
（2）由題意求得，可分類討論去掉絕對值符號，并化簡函數(shù)式，然后作出函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象可得結論；
（3）寫出，利用輔助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商數(shù)關系化簡函數(shù)式，利用函數(shù)單調性和不等式的性質得出其取值范圍．
【小問1詳解】
由題意，，，
，
又，所以或，即所求集合為；
【小問2詳解】
由題意，則，
時，，
時，，
作出函數(shù)，的圖象，如圖，在和上遞增，在和上遞減，，，
由圖象可知，時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，
所以的范圍是；
【小問3詳解】
由題意，其中，，
易知時，，
，
，同理，
，
，
時，函數(shù)是增函數(shù)，因此，
從而，即．
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是利用新定義“伴隨函數(shù)”得出函數(shù)的表達式，然后利用三角函數(shù)性質求解．對于函數(shù)一般借助輔助角公式進行變形，即，其中，．

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