本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1．已知向量OA＝(2，3)，OB＝(x，5)，若OA⊥AB，則x＝( )
A.103B.1C.12D.－1
2．已知α∈(0，π)，tan α＝12，則cs2α＝( )
A.15B.35C.45D.1215
3．已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，則( )
A.“x＝－3”是“a⊥b”的必要條件B.“x＝－3”是“a//b”的必要條件
C.“x＝0”是“a⊥b”的充分條件D.“x＝－1＋3”是“a//b”的充分條件
4．設(shè)D為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=4CD，則
A.AD=-13AB+43ACB.AD=14AB-54AC
C.AD=-14AB+54ACD.AD=43AB-13AC
5．已知a終邊與單位圓的交點(diǎn)P(x，35)，且a是第二象限角，則1-sin2α+2+2cs2α的值等于 ( )
A.15B.－15C.3D.－3
6．在?ABC中，若sin A cs(π2－B)＝1－sin(π2－A)cs B，則這個(gè)三角形是 ( )
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形
7．為了得到y(tǒng)＝sin2x＋cs2x的圖象，只要把y＝2cs2x的圖象上所有的點(diǎn) ( ).
A.向右平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度
8．我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體II·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強(qiáng)互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探測(cè)器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實(shí)讀者，他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”；由線段AB，AC和優(yōu)弧BC圍成，AB，AC與圓弧分別切于點(diǎn)B、C，直線BC與水平方向垂直(如圖)，已知“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5，則cs∠BAC＝( )
A.119169B.120169C.45D.74
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
9．對(duì)于任意的非零平面向量a，b，c，下列結(jié)論正確的是 ( )
A.a·b＝b·aB.若a·b＝a·c，則b＝c
C.(a＋b)·c＝a·c＋b·cD.a·(b·c)＝(a·b)·c
10．已知α，β∈(0，π2)，α＋β＞π2，則下列不等關(guān)系一定正確的是 ( )
A.sin(α＋β)＞sin α＋sin βB.cs(α＋β)＜cs α＋cs β
C.sin α＋sin β＞1D.cs α＋cs β＜2
11．如圖①，蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開(kāi)口，另一端是封閉的六角菱形的底(由三個(gè)相同的菱形構(gòu)成)，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖②是一個(gè)蜂巢的正六邊形開(kāi)口ABCDEF，它的邊長(zhǎng)為1，P是?DEF內(nèi)部(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則 ( )

A.DE=AF-12ADB.AC?BD=34
C.若P為線段EF的中點(diǎn)，則CP在EC上的投影向量為－3EC
D.FE+FP的最大值為7
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
12．已知a＝(3，4)，b＝(4，－2)，若2a－b與ka＋2b為共線向量，則實(shí)數(shù)k＝ .
13．已知sin(α－π6)＋cs α＝35，則cs(2α＋π3)＝ .
14．如圖，在?ABC中，點(diǎn)P在BC上，且滿足BP=2PC，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若AM=mAB,AN=nAC，m＞0，n＞0，則m＋2n的最小值為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．(本小題滿分13分)
已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角是60°.
(1)求a－b，|a＋b|； (2)求a＋b和a的夾角的余弦值．
16．(本小題滿分15分)
在①tan α＝43，②cs 2α＝－4749，③1-csαsinα=32中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決問(wèn)題.
已知0＜α＜π2，且 .
(1)求sin(α－π6)的值；(2)若0＜β＜α＜π2，sin(α－β)＝3314，求β.
說(shuō)明：若選擇多個(gè)條件解答，則按第一個(gè)選擇給分.
17．(本小題滿分15分)
已知向量a＝(2cs x，1)，b＝(－cs(x＋π3),12),x∈[0,π2].
(1)若a//b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，若對(duì)于任意x1，x2∈[0，π2]，|f(x1)－f(x2)|，λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．
18．(本小題滿分17分)
已知O是線段AB外一點(diǎn)，若OA=a,OB=b
(1)設(shè)點(diǎn)G是?ABC的重心，證明：OG=13(a+b)
(2)設(shè)點(diǎn)A1、A2是線段AB的三等分點(diǎn)，?OAA1、?OA1A2及?OA2B的重心依次為G1、G2、G3.
①試用向量a、b表示OG1+OG2+OG3；
②依據(jù)①的推理，設(shè)點(diǎn)A1、A2、…、An－1線段AB的n等分點(diǎn)，G1、G2、…、Gn、?OAA1、?OA1A2、…、?OAn－1B的重心。
請(qǐng)你寫出：OG1+OG2+???+OGn及OA1+OA2+???+OAn-1 (用a、b表示不必證明)；
③若OA1?OA2=24，OA?OB=16,求OG1?OG3.
19．(本小題滿分17分)
對(duì)于常數(shù)集合M＝{θ1，θ2，…，θn}和變量θ，定義
μ＝cs2(θ-θ1)+cs2(θ-θ2)+???+cs2(θ-θn)n為θ相對(duì)集合M的“n元余弦方差”。
(1)若集合M＝{π3,π4}，θ＝0，求θ相對(duì)集合M的二元余弦方差。
(2)當(dāng)集合M＝{－π3，0，π3}，θ∈R時(shí)，求θ相對(duì)集合M的三元的余弦方差。
(3)在直角坐標(biāo)系中，已知A(－2，3)，B(2，6)，M＝{－π6}，μ為θ相對(duì)集合M的一元余弦方差，函數(shù)h(θ)＝4μ，且φ(x)＝h(x4-π6)－2，請(qǐng)問(wèn)在y＝φ(x)的圖像上，是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥BP，若存在，求出點(diǎn)P的指標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

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