1. 下列表達(dá)式化簡結(jié)果與相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用向量加減的運(yùn)算法則逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，不滿足題意，故A錯誤；
對于B，，滿足題意，故B正確；
對于C，，不滿足題意，故C錯誤；
對于D，結(jié)果與的具體關(guān)系不確定，故D錯誤.
故選：B.
2. 設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量共線定理解方程組即可得.
【詳解】依題意可得存在實(shí)數(shù)滿足，
即，又，不共線，
可得，解得.
故選：D
3. 下列函數(shù)中，最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)周期公式及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷.
【詳解】對于A，的最小正周期為，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故A錯誤；
對于B，，最小正周期為，，則，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于C，的最小正周期為，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于D，，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋瑒t此函數(shù)的最小正周期為，
當(dāng)，則，上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：D.
4. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，再結(jié)合的取值范圍判斷與的正負(fù)及大小關(guān)系，進(jìn)而求出的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，又，所以，
則，.
故選：D.
5. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出、的值，進(jìn)而得到、的值，最后根據(jù)，利用兩角和的正切公式計(jì)算.
【詳解】已知，，所以.
因?yàn)椋?
可得：
則.
已知，，所以.
因?yàn)椋?
可得：
則.
因?yàn)?，根?jù)兩角和的正切公式可得：
故選：D.
6. 已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可得，，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷，，的大小，由此可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)，在上都單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以，
所以，
故選：D.
7. 曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】作出與的大致圖象，由圖象即可判斷交點(diǎn)個數(shù).
【詳解】，，
，
作出與的大致圖象，易知共有3個交點(diǎn).
故選：A

8. 已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則和的值為（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由是偶函數(shù)可得的值，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得函數(shù)關(guān)系 ，得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可確定答案.
【詳解】由是偶函數(shù)，得，故，
所以對任意都成立，且，
所以，因?yàn)?，所以?br>由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得，
令得，所以，
因?yàn)椋裕?br>又，得，，
解得，
當(dāng)時，，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，在上不是單調(diào)函數(shù)．
綜上可得，或．
故選：C．
二．多項(xiàng)選擇題（每小題有多個選項(xiàng)符合，全選得6分，漏選得部分分，錯選得0分）
9. 下列四個等式中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A，利用余弦二倍角公式求解；對B，通分后利用兩角差的正弦公式，二倍角正弦公式化簡；對C，利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式化簡；對D，利用兩角和的正切公式化簡計(jì)算.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，
，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br>所以，
即，故D正確.
故選：BCD.
10. 函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的一個周期為；
B. 的圖象關(guān)于對稱；
C. 是的一個零點(diǎn)；
D. 在單調(diào)遞減；
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)圖象的平移得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期判斷A，利用對稱性判斷B，根據(jù)零點(diǎn)定義判斷C，利用正弦型函數(shù)對稱性判斷D.
【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，
，
的一個周期為，故A正確；
的對稱軸滿足：，，
當(dāng)時，的圖象關(guān)于對稱，故B正確；
由，得，是的一個零點(diǎn)，故C正確；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：ABC
11. 正弦波是頻率成分非常單一的信號，其波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線，任何復(fù)雜信號，如光譜信號，聲音信號等，都可由多個不同的正弦波復(fù)合而成，現(xiàn)已知某復(fù)合信號由三個振幅、頻率相同的正弦波疊加而成，即，設(shè)，，若圖中所示為的部分圖象，則下列描述正確的是（ ）
A.
B. 的最小正周期是
C. 若，則
D. 不存在，使得恒為0
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖形得出函數(shù)解析式判斷A，根據(jù)周期的最小正周期計(jì)算判斷B，代入應(yīng)用三角恒等變換判斷C，聯(lián)立恒成立平方求和計(jì)算求解判斷D.
【詳解】對于A，由題圖可知，，且，所以，
又，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A正確.
對于B，因?yàn)?，所以的最小正周期均為，所以的最小正周期為，故B錯誤.
對于C，若，
則
，故C錯誤.
對于D，，即，
展開得，
若等式恒成立，則則平方求和得，
所以.因?yàn)?，所以?br>同理可得，因?yàn)?，所以?br>所以，與矛盾，故D正確.
故選:AD.
三．填空題
12. 寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：__________．
①為偶函數(shù)；②關(guān)于中心對稱；③在上的最大值為3．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題意，選擇三角函數(shù)，根據(jù)對稱性和最值，選擇.要注意答案不唯一.
【詳解】由題意：函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于中心對稱，且在上的最大值為3，
所以可以取三角函數(shù)（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）.
13. 若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】化簡函數(shù)，根據(jù)在區(qū)間上是增函數(shù)得到的范圍，再根據(jù)的范圍即可求出結(jié)論.
【詳解】，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
所以，則，
所以，
則的最大值是，
故答案為：.
14. 函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，則_____________
【答案】
【解析】
【分析】利用換元法簡化三角函數(shù)解析式然后根據(jù)余弦函數(shù)對稱性得到，最后根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式即可.
【詳解】令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)等價于：
函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，
所以，所以由余弦函數(shù)圖象情況可知，
且，，
所以，
所以，
故答案為：.
四．解答題
15. 已知函數(shù)，.
（1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若（）為的一個零點(diǎn)，求的值.
【答案】（1），單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用降冪公式、輔助角公式將原函數(shù)解析式化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）由可得，然后利用求解的值.
【詳解】解：（1）
則的最小正周期為.
令得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）若，則，即，
又，所以，所以，
所以
.
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題，考查利用三角恒等變換求三角函數(shù)值，難度一般. 解答時，輔助角公式，三角恒等變換公式的運(yùn)用是關(guān)鍵.
16. 在一次研究性學(xué)習(xí)中，小華同學(xué)在用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）請利用上表中的數(shù)據(jù)，寫出的值，并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出的解析式即可；
（2）首先根據(jù)函數(shù)圖像的變換求出的解析式，然后求出的值域，然后由可得，然后可得答案.
【小問1詳解】
由表格中數(shù)據(jù)可得，，解得，
所以，
所以，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到的圖像，
再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，
由可得，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，解?
17. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面的高度為110m，最低點(diǎn)距離地面10m，已知摩天輪共有40個座艙，開動后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動一周的時間大約為20min．游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)完一周后下艙．
（1）當(dāng)游客距離地面高度不低于85m時，可以看到游樂園全貌，問在游客乘坐摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，有多少分鐘可以看到游樂園全貌？
（2）當(dāng)甲、乙兩人先后坐上相鄰的座艙，何時二人距離地面的高度相等？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求出旋轉(zhuǎn)角速度，得到距離地面高度距離關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，解不等式求出，得到答案；
（2）設(shè)游客甲坐上座艙開始轉(zhuǎn)動后，甲乙距離地面的高度分別為m和m，從而求出和關(guān)于時間的解析式，解方程，得到時二人距離地面的高度相等.
【小問1詳解】
以摩天輪軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，游客坐上座艙開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，
當(dāng)時，游客位于點(diǎn)，以為終邊角為，
因?yàn)槟μ燧啺霃?，旋轉(zhuǎn)角速度為，
所以，，
當(dāng)，即，，
解得：，解得：，
因?yàn)閙in，
故摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，有分鐘可以看到游樂園全貌
【小問2詳解】
設(shè)游客甲坐上座艙開始轉(zhuǎn)動后，甲乙距離地面的高度分別為m和m，
，，
因?yàn)槟μ燧喒灿?0個座艙，故相鄰兩個座艙之間的圓心角為，
故，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，解得：?br>所以當(dāng)甲、乙兩人先后坐上相鄰的座艙，時二人距離地面的高度相等.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）若，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）， 對稱軸;
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式、兩角和正弦公式化簡，再求周期和對稱軸；
（2）利用區(qū)間里面一定有，所以去分析函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中也有0，從而利用不單調(diào)來判斷區(qū)間端點(diǎn)的取值范圍；
（3）利用三角函數(shù)在區(qū)間的值域，結(jié)合任意變量都滿足不等式恒成立，可得，從而可得參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)
,
所以函數(shù)的最小正周期，
由，所以函數(shù)圖象的對稱軸為；
【小問2詳解】
由，
可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于區(qū)間里面一定有，而，
所以函數(shù)在上不單調(diào)的等價條件是，
即滿足或，解得：，
故的取值范圍；
【小問3詳解】
當(dāng)時，，則，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>再由，，都有恒成立，
則有，即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍．
19. 對于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.
（1）若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；
（2）若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；
（3）若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）不具有，理由見解析；
（2）或或；
（3）或，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系的定義及三角函數(shù)的值域判斷即可；
（2）根據(jù)具有關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)先確定，根據(jù)具有關(guān)系的定義得出，再根據(jù)二次函數(shù)的動軸定區(qū)間分類討論計(jì)算即可.
【小問1詳解】
與不具有關(guān)系，
理由如下：時，，，所以，
則與不具有關(guān)系；
【小問2詳解】
由題意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像為或或；
【小問3詳解】
對于，則，所以，
即，
因?yàn)榕c具有關(guān)系，
所以要滿足題意需，使得即可.
令，
令，則，設(shè)，
①若，即時，，
則，
②若，即時，，
則，
③若，即時，，
則或，顯然無解，
④若，即時，，
則或，顯然無解，
綜上所述：或，
x
0
1
0
－1
0
1
0
0

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