一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.
【詳解】易知.
故選：D
2. 若函數(shù)，則可以化簡(jiǎn)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用輔助角公式求出答案.
【詳解】，C正確；
其他選項(xiàng)不滿足要求.
故選：C
3. 在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)．則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)橹?，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，
所以，
故選：A．
4. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和（差）的余弦公式得到方程組，求出、，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以
故選：A.
5. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角基本關(guān)系式求出，利用，結(jié)合和差角公式可解.
【詳解】由，則，
又，，
而
.
故選：D.
6. 在中，，，則的形狀為（ ）
A. 等腰直角三角形B. 三邊均不相等的三角形
C. 等邊三角形D. 等腰（非直角）三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可得到，再由數(shù)量積的定義求出，即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，即，即?br>所以，即，則，
又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，
所以，又，所以，
所以，
所以是等腰直角三角形．
故選：A
7. 已知α，β為銳角，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而利用兩角各的余弦公式求得，可求的值.
【詳解】∵為銳角，，
∴，
∴．
又，∴.
故選：B．
8. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和角的正弦公式將展開，再用商數(shù)關(guān)系弦化切即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>將式子的左右兩側(cè)同時(shí)除以，可得
，
即.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中；有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. （多選）關(guān)于平面向量，，，下列說法中正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則與的夾角為鈍角D.
【答案】AD
【解析】
【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積定義，運(yùn)算律,夾角概念逐個(gè)計(jì)算驗(yàn)證即可.
【詳解】
故選：AD
10. 下列各式中，計(jì)算結(jié)果為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值.
【詳解】A.
，故A正確；
B. ，故B錯(cuò)誤；
C. ，故C正確；
D.
，故D正確.
故選：ACD
11. 已知向量，，，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 設(shè)函數(shù)，則的最大值為2
C. 最大值為
D. 若，且在上投影向量為，則與的夾角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)判斷A，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式判斷B，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及輔助角公式判斷C，根據(jù)投影向量的定義及夾角公式判斷D.
【詳解】對(duì)于A：若，則，所以，故A正確；
對(duì)于B：，
所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，最大值為，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：在上的投影向量為，所以，
所以，
又，所以，此時(shí)，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. ，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和的正切公式可求得結(jié)果.
【詳解】由已知條件可得
.
故答案為：.
13. 已知，則的面積為______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用平面向量的數(shù)量積得到，進(jìn)而確定三角形的底和高，再利用三角形面積公式求解面積即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故，由向量的模長(zhǎng)公式得，，
且設(shè)的面積為，則.
故答案為：5
14. 如圖，在平面四邊形中，，，，且，則___________，若是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得；設(shè)，將和化為、、表示，利用定義求出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，所以為正三角形，所以，?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所?
因?yàn)槭蔷€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，
所以
，
因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的取值范圍是.
故答案為：4；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將和化為、、表示，利用定義求出是解題關(guān)鍵.
四、本題共5小題，共77分．在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，，且．
（1）若向量與互相垂直，求的值．
（2）若向量與互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．
（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小問1詳解】
，，
，，即，得，
若向量與互相垂直，則，
即得，
，解得或.
【小問2詳解】
由，所以，所以不共線，
由向量與互相平行，
可知存在實(shí)數(shù)，使得，
，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
或.
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出角的正弦值和余弦值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，，
由可得，
所以，.
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?，則，所以，，
所以，，
因此，
.
17. 化簡(jiǎn)與證明：
（1）．
（2）．
【答案】（1） （2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）將變成，利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得解；
（2）利用兩角和與差的余弦公式，平方關(guān)系從左向右證化簡(jiǎn)證明.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
左邊
.
左邊右邊，得證.
18. 電視塔是縣城的標(biāo)志性建筑，我校高一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量電視塔AB的高度，該興趣小組同學(xué)在電視塔底B的正東方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D，記，（左圖），測(cè)得米，，．
（1）請(qǐng)據(jù)此算出電視塔AB的高度；
（2）為慶祝即將到來的五一勞動(dòng)節(jié)，縣政府決定在電視塔上A到E處安裝彩燈烘托節(jié)日氣氛．已知米，市民在電視塔底B的正東方向上的F處欣賞彩燈（圖右），請(qǐng)問當(dāng)BF為多少米時(shí)，欣賞彩燈的視角最大?
【答案】（1）150米
（2）米
【解析】
【分析】（1）分別在和中，利用正切函數(shù)表示出，然后根據(jù)題意列方程可求出；
（2）由圖可知，設(shè)米，給兩邊取正切化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式可求得其最大值.
【小問1詳解】
在中，，得
在中，，得
因?yàn)椋?br>所以，解得米．
答：電視塔的高度大約是150米．
【小問2詳解】
由圖可知，設(shè)米，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
顯然且在單調(diào)遞增，即最大時(shí)最大．
答：當(dāng)為米時(shí)，欣賞彩燈的視角最大．
19. 對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的相伴特征向量的坐標(biāo)；
（2）記向量的相伴函數(shù)為.
（I）當(dāng)且時(shí)，求的值；
（II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（I） （II）
【解析】
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的相伴特征向量的定義即可求解；
（2）（I）根據(jù)題意先求得函數(shù)的解析式，結(jié)合已知條件求得的值，進(jìn)而求得的值，通過配角的方法并結(jié)合兩角差的正弦公式即可求解；
（II）通過誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)原式，通過分類討論的正負(fù)，通過參變分離法轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.
【小問1詳解】
，
∴由題可知：函數(shù)的相伴特征向量的坐標(biāo).
【小問2詳解】
由題可知：向量的相伴函數(shù).
（I），，即.
，，.
；
（II）當(dāng)時(shí)，不等式f(x)+kfx+π2=2sin(x+π3)+2kcs(x+π3)>0可化為，即恒成立.
，.
當(dāng)，即時(shí)，，恒成立，∴k>?tan(x+π3)max.
，，∴k>?tan(x+π3)max=?3；
當(dāng)，即時(shí)，，，不等式恒成立；
當(dāng)，即時(shí)，，恒成立，.
，，.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為..
【點(diǎn)睛】恒成立問題多參變分離后轉(zhuǎn)化為最值問題，通過分類討論等方法快速求出參數(shù)范圍.A
√
根據(jù)向量的運(yùn)算律可知，A正確
B
×
表示與向量共線的向量，表示與向量共線的向量，則與不一定相等
C
×
當(dāng)兩個(gè)非零向量與的方向相反時(shí)，，此時(shí)與的夾角為，不是鈍角
D
√
若與中至少有一個(gè)零向量，則，此時(shí)與共線；
若與均為非零向量，設(shè)與的夾角為，則，可得．
又，所以或，即與共線，反之也成立．
綜上，

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