2022-2023學(xué)年江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)漣水濱河高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，且，則，解得.故選：B.2．已知是單位向量，若，則（    ）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)，求出，然后求解.【詳解】，即，，故選：B.3．已知是第四象限角，且，則（    ）A． B． C． D．7【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角公式求出，再利用和角的正切計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，而是第四象限角，則有，，所以.故選：A4．在下列說(shuō)法中：①若，，則；    ②零向量的模長(zhǎng)是；③長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量；    ④共線是在同一條直線上的向量．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（    ）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】A【分析】根據(jù)相等向量、共線向量、零向量的定義判斷即可；【詳解】解：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，則，故③錯(cuò)誤，①正確，模為的向量叫做零向量，故②正確，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也稱(chēng)為共線向量，規(guī)定零向量和任意向量平行，故④錯(cuò)誤；故選：A5．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】，故選：B6．設(shè)為平面內(nèi)一個(gè)基底，已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值是（    ）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)共線可得向量共線，根據(jù)向量共線定理，即可求解.【詳解】,因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以,即存在,使得,故故選：D7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)1與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即．對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長(zhǎng)”與“表高”相等，則第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的（    ）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則，所以第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2倍.故選：B8．設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且.若存在，使得與垂直，且，則的最小值為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】構(gòu)造向量，利用向量垂直和，結(jié)合基本不等式得出的最大值2，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】如圖，是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，由題意得：，令，則三點(diǎn)共線,，則三點(diǎn)共線,故有共線，由題意與垂直，，知，且為定值，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)面積最大，則到的距離最遠(yuǎn)，而，故當(dāng)且僅當(dāng)，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，最小，此時(shí)到的距離為，所以，故，即的最小值為.故選：D. 二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A． B．與可以作為基底C． D．與方向相同【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量定理和平面向量基本定理逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由題意，向量，可得，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；又由，所以C正確；因?yàn)?/span>，所以，所以與方向相反，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.10．下列等式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用二倍角公式和兩角和差公式求解即可.【詳解】，A正確；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確；故選：ACD11．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（    ）A．若非零向量滿(mǎn)足，則與共線且同向B．若非零向量滿(mǎn)足，則與的夾角為C．若單位向量的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)，D．在中，若，則為等腰三角形【答案】AD【分析】選項(xiàng)A：把平方得到，然后根據(jù)，得出，從而得出；選項(xiàng)B：根據(jù)得到以為三邊的三角形為等邊三角形，從而得到與的夾角為30°；選項(xiàng)C：利用平方法得到，從而判斷出時(shí)取最小值；選項(xiàng)D：根據(jù)題意分析出都為單位向量，從而得到向量所在的直線為角的角平分線，再根據(jù)條件，即可判斷為等腰三角形.【詳解】選項(xiàng)A：對(duì)非零向量，，若使成立，即使成立，則，即，所以與共線且同向，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：非零向量滿(mǎn)足，則以為三邊的三角形為等邊三角形，故與的夾角為30°，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)閱挝幌蛄?/span>的夾角為60°，所以，所以時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>都為單位向量，所以向量所在的直線為角的角平分線，又因?yàn)?/span>，即，所以，即為等腰三角形,所以選項(xiàng)D正確.故選：AD12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小正周期是B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是D．若，時(shí)，成立，則的最大值為【答案】ABD【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性即可判斷ABC；令，則，時(shí)，成立，可轉(zhuǎn)化為，時(shí)，成立，作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象即可判斷D.【詳解】，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以不是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，由，得，設(shè)，不妨設(shè)，則，則，時(shí)，成立，即，時(shí)，成立，即成立，令，則方程有兩個(gè)不同的解，如圖作出函數(shù)和的圖象，由圖可知的最大值為，即，所以，即的最大值為，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．若，且α為銳角，則=______【答案】【分析】先化為，再根據(jù)同角平方關(guān)系和差角正弦公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>α為銳角，所以，，故.故答案為：14．若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.【詳解】解：由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當(dāng)時(shí)，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為，故答案為：．15．如圖，單位向量，的夾角為，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為______．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式得到，結(jié)合，求出最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，故，因?yàn)?/span>，所以，故當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為： 四、雙空題16．若，則________，____．【答案】     3     【分析】解方程求得，由兩角和的正弦公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．由，解得，從而．故答案為：； 五、解答題17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模即可；（2）由向量的模，根據(jù)向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求向量的夾角即可.【詳解】（1）由題知，，所以，所以.（2）由題知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，向量與向量的夾角為.18．已知為第二象限角，為第一象限角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用平方關(guān)系求出，再利用兩角和的正弦公式即可得解；（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根據(jù)兩角差的正切公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為第二象限角，為第一象限角，，所以，所以.（2），所以，所以.19．已知平行四邊形中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（I）求的值；（II）若，且，求的值．【答案】（I）4；（II）.【分析】（I）建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解數(shù)量積，或者利用數(shù)量積的定義求解；（II）求出向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示可求的值，或者位置關(guān)系求解.【詳解】法1：（I）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，； （II），．法2：（I）；（II），∴，∵，，∴與重合，∴．20．設(shè)向量，其中為銳角．若，求的值；若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的關(guān)系，即可求出；（2）根據(jù)向量的平行和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，即可求出．【詳解】向量，，，，為銳角，，，．，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積和向量與平行的關(guān)系，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.21．已知.(1)若，求證：；(2)設(shè)，若，求的值.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）求出，利用模長(zhǎng)公式列出方程，求出，證明出；（2）根據(jù)得到，平方相加后得到的值.【詳解】（1），故，即，化簡(jiǎn)得：，故；（2），所以，兩式平方相加得：，故.22．已知函數(shù)，．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若，，求的值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為－.(3) 【分析】(1)根據(jù)兩角和差，二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，求周期即可；(2)根據(jù)自變量范圍求，結(jié)合單調(diào)性求最值；(3)由已知條件結(jié)合兩角和差公式求值.【詳解】（1）　    ，                            　　　　　　　　                    　　　　    .　                    ，  的最小正周期為.（2）因?yàn)?/span>，所以令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.    且，，，所以，的最大值為，最小值為－.（3）因?yàn)椋?/span>，所以，，又因?yàn)?/span>　所以，，故，，　　            所以，. 

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