一、單選題（本大題共8小題）
1．用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，通過(guò)計(jì)算得：，，則下一步應(yīng)計(jì)算，則（ ）
A．0B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知D是的邊BC上的點(diǎn)，且，則向量（ ）.
A．B．
C．D．
4．若向量，且A，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量滿足，，且，則夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若實(shí)數(shù)，，存在并能滿足，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．在和上單調(diào)遞減B．的值域?yàn)?br>C．的取值范圍是D．
10．下列各式中值為的是（ ）
A．B．
C．D．
11．設(shè)點(diǎn)O是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)O不在的邊上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若點(diǎn)O是的重心，則
B．若點(diǎn)O是的垂心，則
C．若，則點(diǎn)O是的外心
D．若O為的外心，H為的垂心，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．的值域?yàn)? ．
13．已知函數(shù)，滿足，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為 .
14．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，且，，則邊BC的長(zhǎng)為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知平面向量、滿足，，與的夾角為．
(1)求；
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，．
16．計(jì)算下列各值：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
17．在直角梯形中，已知，，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
(1)求的值；
(2)若為線段上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．
18．設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：．試求解下列問(wèn)題，
(1)已知向量滿足，求的值；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
19．已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性并證明；
(2)若函數(shù)，請(qǐng)判斷是否存在實(shí)數(shù)使得有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)在之間，另一個(gè)在之間，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最小值為，求.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，，且函?shù)圖象連續(xù)不斷，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
所以下一步應(yīng)計(jì)算，，
故選C.
2．【答案】D
【詳解】.
故選D.
3．【答案】C
【詳解】由題意作圖如下：

由，則，
.
故選C.
4．【答案】B
【詳解】由三點(diǎn)共線，得，
又，得，解得.
故選B.
5．【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以，解?
故選A.
6．【答案】B
【詳解】由，得，
由，得，
兩式相加得，，所以可得，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，可得.
故選B.
7．【答案】B
【解析】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且該函數(shù)為偶函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都有一個(gè)交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論.
【詳解】，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
又，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，
，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
任取、且，則，
所以，，即，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
令得，作出函數(shù)和的圖象如圖所示：
令得，
由圖象可得函數(shù)和的圖象在每個(gè)區(qū)間上都有個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)共有個(gè)零點(diǎn)．
故選B．
8．【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，
所以，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，
故選D.
9．【答案】ACD
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，設(shè)，則直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
對(duì)A，由圖象知A正確，
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；
對(duì)C，或，
因?yàn)?，所以，從而，又?br>所以，C正確，
對(duì)D，由圖可知 ，即，D正確，
故選ACD．
10．【答案】BC
【詳解】對(duì)于A，，
故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
故B正確；
對(duì)于C，，
故C正確；
對(duì)于D，
，故D錯(cuò)誤.
故選BC.
11．【答案】ACD
【詳解】取中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)辄c(diǎn)O是的重心，所以，故A正確；
因?yàn)辄c(diǎn)O是的垂心，所以，
故，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br>同理可得，所以，即為外心，故C正確；
如圖，
因?yàn)?，
所以，
兩式相減可得，
同理可得，若，該平面向量同時(shí)垂直于，，顯然不可能，所以，
即，故D正確.
故選ACD.
12．【答案】
【詳解】，
所以的值域是，
13．【答案】.
【詳解】由，得，解得，則
令，由可得：，
解得：，依題意，直線與直線與的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，可看成關(guān)于軸對(duì)稱得到，故其在上單調(diào)遞減.
作出函數(shù)的圖象如圖所示.

由圖象可知，需使，即的取值范圍為.
14．【答案】
【詳解】取的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，又為公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，
所以點(diǎn)在邊的中線上，且，
同理點(diǎn)在邊的中線上，即點(diǎn)為的重心，
故，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)為的外心，即為為中垂線的交點(diǎn)，
故，
則，
所以，
而，所以，
即，
所以，所以，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，，與的夾角為．
所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
化為，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因則.
又，則，
.
則
；
（2）由題
.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，、分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則、、、，
因?yàn)椋?，?br>所以，所以，所以點(diǎn)，
設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以，，則．
（2）解：由（1）知，，設(shè)，其中，
則，
所以，
因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取得最大值，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故的取值范圍為．
18．【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【詳解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）設(shè)，則，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值是9．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)在于借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算得到.
19．【答案】(1)為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）為偶函數(shù)，證明如下：
由題可得的定義域?yàn)椴⑶叶x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
，
是定義在上的偶函數(shù)：
（2），
，
令，
則可轉(zhuǎn)化為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
有兩個(gè)零點(diǎn)，
一個(gè)在之間，另一個(gè)在之間，
可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，
其中一個(gè)在之間，另一個(gè)在之間，則有：
無(wú)解
不存在實(shí)數(shù)使得有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)在之間，另一個(gè)在之間；
（3），
，
令，
，
，
則，
的最小值即為的最小值，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)最小值為，
②當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，即，
當(dāng)時(shí)，即，
當(dāng)時(shí)，即，
綜上所述，

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