1. 在中，已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】在中，已知，，，由余弦定理，得.
故選：A．
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以的虛部為4，
故選:C.
3. 在中，，則的外接圓的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得外接圓的半徑，再利用圓的面積公式計(jì)算即可.
【詳解】由正弦定理得的外接圓的半徑，
所以的外接圓的面積．
故選:．
4. 已知，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解；
【詳解】因?yàn)椋O(shè)向量與的夾角為
所以，
又因?yàn)椋?br>故選：B.
5. 若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基底滿足條件逐一分析即可.
【詳解】對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)使，
則，此方程無解，故能作為平面向量的基底.故正確.
故選：.
6. 如圖，在中，，E是的中點(diǎn)．設(shè)，．則正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算逐個(gè)選項(xiàng)分析求解即可.
【詳解】對(duì)于A，利用三角形定則可得，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，故C錯(cuò)誤
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：D
7. 在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則有兩解D. 若，則有兩解
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理建立方程，利用每個(gè)選項(xiàng)中的條件，可得答案.
【詳解】由正弦定理，得，
當(dāng)時(shí)，，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，故B有兩解，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，得，僅有一解，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
8. 已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在上的投影向量為
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分）
9. 已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的意義判斷AD；由模的計(jì)算判斷BC.
【詳解】對(duì)于A，是復(fù)數(shù)，如，由不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，A錯(cuò)誤；
設(shè)，
對(duì)于B，由，得，則，
因此，，B正確；
對(duì)于C，，
，C正確；
對(duì)于D，由，得都是實(shí)數(shù)，因此，D正確.
故選：BCD
10. 下列說法中正確的是（ ）
A. 在中，，則的面積為
B. 已知向量，則
C. 在中，若，則是等腰三角形
D. 已知向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】由三角形面積公式直接求解可判斷A；根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求解可判斷B；記的中點(diǎn)為D，根據(jù)向量加法運(yùn)算結(jié)合已知可得中線垂直于，然后可判斷C；考慮與反向時(shí)不滿足條件即可判斷D.
【詳解】，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
記的中點(diǎn)為D，由于，
因此中線垂直于，所以是等腰三角形，故C正確；
與的夾角為鈍角，
且，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說法中正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則符合條件的有兩個(gè)
C. 若，則為等腰三角形
D. 若，則為直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，使用正弦定理即可證明；對(duì)于B，使用余弦定理解出全部的即可證明有兩解；對(duì)于C，給出一組反例即可否定；對(duì)于D，使用和差化積以及積化和差公式即可證明或.
【詳解】對(duì)于A，由已知有，故，所以，故A正確；
對(duì)于B，我們只需要確定滿足條件的的個(gè)數(shù)，由余弦定理知滿足的方程是，即，而該方程有兩個(gè)解，故B正確；
對(duì)于C，若，，，則，但不是等腰三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則有.
故，從而.
這表明或，即或，故D正確.
故選：ABD
三?填空題（每小題5分，共15分）
12. 已知向量， ，且 ，則實(shí)數(shù)___．
【答案】或
【解析】
【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，進(jìn)而即可解得的值．
【詳解】由向量，，且 ，
則，整理得，解得或．
故答案為：或．
13. 中，角的平分線交邊于點(diǎn)，則角平分線的長(zhǎng)為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用等面積列出方程求解即得.
【詳解】依題意，設(shè)，,
由,可得，，
解得:.
故答案為：.
14. 的面積為，角的對(duì)邊分別為，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可得.
【詳解】易知，
即，
則.
故答案為：.
四?解答題（共77分）
15. 已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).
（1）求；
（2）若的面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
原式化簡(jiǎn)可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的內(nèi)角；
【小問2詳解】
，
，
，
.
16. 已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）滿足__________.
在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題.
（1）若，求復(fù)數(shù)以及；
（2）若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）選條件①，利用共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求出，再利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及模的意義求解；選條件②，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的意義求出，再利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及模的意義求解.
（2）利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，再借助韋達(dá)定理計(jì)算即得.
【小問1詳解】
選條件①，，由，得，
因此，即，又，解得，
所以，.
選條件②，，由
得，因此，解得，
所以，.
【小問2詳解】
是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則也是該方程的根，
于是，則實(shí)數(shù)，
所以實(shí)數(shù)的值為.
17. 如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上上.
（1）若點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，求的值.
（2）若，當(dāng)時(shí)，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用為基底表示向量，再根據(jù)向量相等即可得答案；
（2）用為基底表示向量，再根據(jù)得點(diǎn)在邊上的位置，進(jìn)而根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上中點(diǎn)，
所以，
所以，，所以
（2）因?yàn)樵谡叫沃校?，設(shè)，
所以，，，
所以，解得.
所以，
所以
，
所以.
18. 在中，角的對(duì)邊分別為，且向量，向量．
（1）求角；
（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得，即可由余弦定理求解，
（2）根據(jù)余弦定理以及基本不等式即可求解，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
∵，
∴，
化簡(jiǎn)得，
∴
∵，
∴．
【小問2詳解】
由余弦定理得．
∵∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∴,
又∵，∴．
∴周長(zhǎng)的取值范圍為．
19. 如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對(duì)角線與交于點(diǎn)，
（1）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積，，，求和的值;
（2）若，且，，求對(duì)角線的最大值和此時(shí)的值.
【答案】（1），
（2），最大值
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面積公式以及余弦定理可求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，
過點(diǎn)C作CH垂直BD于點(diǎn)H，根據(jù)，得，從而得到的值；
（2）在中，得求，利用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)看可求出的長(zhǎng)的最大值及其對(duì)應(yīng)的值.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理得，
，
兩式作商有又，所以
如圖，過點(diǎn)C作CH垂直BD于點(diǎn)H，
則，則，
，故
【小問2詳解】
在中，，，
，
所以，
又，所以
中，
在中，由余弦定理得，
即，
即，，
當(dāng)，即時(shí)，AC取得最大值

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