2024-2025學(xué)年度北師大版（2024）七年級(jí)下學(xué)期第五章圖形的軸對(duì)稱單元復(fù)習(xí)檢測(cè) 一、選擇題 1．剪紙是我國古老的民間藝術(shù)．下列四個(gè)剪紙圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（????） A．B． C． D． 2．已知一個(gè)等腰三角形一底角的度數(shù)為，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（????） A． B． C．或 D． 3．如圖，某校實(shí)踐小組為了讓旗桿垂直于地面，采取以下的操作方法：從旗桿上一點(diǎn)往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)，到旗桿腳的距離相等，且，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，旗桿．這種操作方法的依據(jù)是（???） A．等角對(duì)等邊 B．垂線段最短 C．等腰三角形“三線合一” D．三角形兩邊的和大于第三邊 4．如圖，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭，要使涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，涼亭應(yīng)選的位置是（????） ?? A．的三條中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn) 5．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，的周長(zhǎng)為20，則的周長(zhǎng)（????） A．14 B．26 C．32 D．46 6．如圖，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交邊于點(diǎn)D，若，的面積是40，則的長(zhǎng)為（????） A．5 B．8 C．16 D．17 7．如圖，在中，的平分線和的平分線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)D，若的周長(zhǎng)為10，，則的面積為（???） A．20 B．15 C．10 D．5 8．如圖，在中，，分別是邊，的垂直平分線，若，，的周長(zhǎng)為9，則的周長(zhǎng)為（???） A．13 B．15 C．19 D．20 9．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿上下兩邊中點(diǎn)連線向右折疊成第二個(gè)圖形，再沿左右兩邊中點(diǎn)的連線向下折疊成第三個(gè)圖形，然后沿左上角的平分線向右上折疊成第四個(gè)圖形，并在如圖所示的位置剪去一個(gè)鈍角三角形．最后把紙片全部展開，得到的圖形是（???） A． B． C． D． 10．如圖，在中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是（　?。? A． B． C． D． 二、填空題 11．如圖，在中，是的垂直平分線，．若的周長(zhǎng)為25，則的周長(zhǎng)為 ． 12．如圖，是的角平分線．若，則的面積是 ． 13．如圖，在等腰中，，為的角平分線，若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為 ． 14．如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰三角形，那么的度數(shù)是 ． 15．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別與相交于點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ． 三、解答題 16．如圖，電信部門要在區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)，的距離必須相等，到兩條高速公路和的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖上標(biāo)出它的位置．（要求：畫圖留下痕跡，但不要求寫作法） 17．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上． (1)在圖中畫出與關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的； (2)的面積為__________； (3)在直線l上找一點(diǎn)P，使的值最?。ㄔ趫D中標(biāo)出點(diǎn)P，保留作圖痕跡） 18．如圖，在四邊形中，，連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)E，． (1)求證：； (2)若，，，求的長(zhǎng)． 19．在中，分別是邊的垂直平分線． (1)若，求的周長(zhǎng)． (2)若，求的度數(shù) 20．學(xué)習(xí)了等腰三角形后，小渝進(jìn)行了拓展性探究．他發(fā)現(xiàn)，如果作等腰三角形兩底角的平分線且與兩腰相交，那么等腰三角形的這兩條角平分線的長(zhǎng)度相等．其解決思路是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作的平分線，交于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡） 已知：如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)． 求證：． 證明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形兩腰上的高線均有此特征請(qǐng)你依照題意完成下面命題： 等腰三角形兩腰上的高線的長(zhǎng)度 ④ ． 21．如圖，中，點(diǎn)D在邊上，，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為，且，連接． ?? (1)求的度數(shù)． (2)求證：平分； (3)若，三角形的面積是18，求的面積． 22．如圖，在中，，，是內(nèi)的一點(diǎn)，且，連接，以為直角邊作等腰直角，使，交線段于點(diǎn)，連接． (1)求證：． (2)求的度數(shù)． (3)當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？ 23．教材呈現(xiàn)：以下是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容． 線段垂直平分線 我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸，如圖1，直線是線段的垂直平分線，P是上任一點(diǎn)，連結(jié)．將線段沿直線對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有： 線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等． 已知：如圖1，，垂足為點(diǎn)C、，點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)． 求證：． 圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得． 請(qǐng)根據(jù)所給教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程． 定理應(yīng)用： （1）如圖②，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E，垂足分別為M，N，，直接寫出的周長(zhǎng)為__________． （2）如圖③，在中，，，E、P分別是上任意一點(diǎn)，若，的面積為30，直接寫出的最小值是__________． 參考答案 1．C 【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解即可． 【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意； B、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意； C、是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)符合題意； D、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意． 故選：C． 2．D 【分析】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形兩底角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案． 【詳解】解：∵一個(gè)等腰三角形一底角的度數(shù)為， ∴這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為， 故選：D． 3．C 【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合即可求解，熟練掌握等腰三角形“三線合一”是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：∵，， ∴（等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合）， 即得出垂直于的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”． 故選：C． 4．C 【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段的端點(diǎn)距離相等，進(jìn)行作答即可． 【詳解】解：∵現(xiàn)要在草坪上建一涼亭，要使涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等， ∴涼亭應(yīng)選的位置是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)， 故選：C 5．C 【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，從而得出，由的周長(zhǎng)為20，得出，即可得解． 【詳解】∵的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)， ∴ ， ∵的周長(zhǎng)為20， ， ∴的周長(zhǎng)為 故選：C 6．C 【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由作圖可知為的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理得，由三角形面積即可求解． 【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E， 由作圖可知，為的平分線， ， ， 的面積， 解得：． 故選：C． 7．C 【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)成． 【詳解】解：角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)心，到三條邊的距離相等， ， 故選：C． 8．C 【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知，，根據(jù)的周長(zhǎng)為9，求得，即可求出的周長(zhǎng)． 【詳解】解：∵，分別是邊，的垂直平分線， ∴，， ∵的周長(zhǎng)為9， ∴， ∵，， ∴的周長(zhǎng)， 故選：C． 9．B 【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的特征，畫軸對(duì)稱圖形,根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征逐步推理是解題的關(guān)鍵．從第4個(gè)圖開始，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行倒推，一直倒推到第一個(gè)圖，即可判斷答案． 【詳解】解：從第4個(gè)圖反過來推得第三個(gè)圖為： 再推得第二個(gè)圖為： 最后推得第一個(gè)圖為： 故選：B． 10．A 【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)以及翻折變換及其應(yīng)用；連接，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)得到，，據(jù)此可得，證明，得到，則，再由對(duì)稱性得到，，則，由三角形內(nèi)角和定理得到，則． 【詳解】解：如圖所示，連接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵與關(guān)于對(duì)稱， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故選：A． 11．17 【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵． 由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可推出“的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)”，由此即可得出答案． 【詳解】解：是的垂直平分線， ， 的周長(zhǎng) 的周長(zhǎng) ， 故答案為：． 12．7 【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積的計(jì)算．作輔助線是解本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作于H，由角平分線的性質(zhì)推出，由三角形面積公式即可求出的面積． 【詳解】解：過點(diǎn)D作于H， ， ， 是的角平分線， ， ， 的面積， 故答案為：7． 13．4 【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，直接利用三線合一可得，再進(jìn)一步解答即可． 【詳解】解：∵，為的角平分線， ∴， ∵的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案為：4． 14．或 【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠分類討論，難度不是很大，是?？嫉念}目之一．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，再分兩種情況進(jìn)行討論：①；②，分別求出結(jié)果即可． 【詳解】解：在中，，， ， ∵平分， ∴； 分兩種情況： ①當(dāng)時(shí)，； ②當(dāng)時(shí)，． 綜上所述，的度數(shù)為或． 15．6 【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，如圖所示，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可得，再進(jìn)一步可得答案． 【詳解】解：如圖所示，連接， ∵邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，， ∴， ∴， ∴當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，最小， ∴的最小值為， 故答案為：6． 16．見解析 【分析】本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線和線段的中垂線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖． 分別作出角的平分線和線段的中垂線，兩線的交點(diǎn)即為所求． 【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)． 17．(1)圖見解析 (2) (3)圖見解析 【分析】本題主要考查了畫軸對(duì)稱圖形，三角形的面積公式，軸對(duì)稱—最短路線問題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的作法及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）按照畫軸對(duì)稱圖形的方法畫出關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的即可； （2）利用割補(bǔ)法求解即可； （3）連接，交直線l于點(diǎn)，即可得解． 【詳解】（1）解：如圖，即為所求； （2）解：由圖可知：的面積， 故答案為：； （3）解：如圖，連接，交直線l于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求． 18．(1)見解析 (2) 【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)； （1）根據(jù)直接證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解． 【詳解】（1）證明：在中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 19．(1)12 (2) 【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可； （2）證明，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：分別是邊的垂直平分線，， ， 的周長(zhǎng)， 的周長(zhǎng)為12． （2）解：， ． 由（1）可得， ， ， ， 的度數(shù)為． 20．作圖見解析；①；②；③;④相等 【分析】本題考查了作圖—基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 作平分交與點(diǎn)，根據(jù)得到，根據(jù)角平分線定義得到，，因此，即可證明，得到，因此等腰三角形兩腰上的高線的長(zhǎng)度相等． 【詳解】解：如圖，作平分交于點(diǎn) 在中， ， 又平分，平分， ，， ， 又 ． 小渝進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形兩腰上的高線均有此特征請(qǐng)你依照題意完成下面命題： 等腰三角形兩腰上的高線的長(zhǎng)度相等． 故答案為：①；②；③；④相等 ． 21．(1) (2)見解析 (3) 【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵． （1）根據(jù)垂直得到，利用三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)，即可求出的度數(shù)； （2）過點(diǎn)E作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證明結(jié)論； （3）根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可求出的面積． 【詳解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）證明：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 22．(1)見解析 (2) (3)或或 【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)： （1）證明，即可得證； （2）全等三角形的性質(zhì)，得到，周角的定義，求出的度數(shù)，利用四邊形的內(nèi)角和為360度，求出的度數(shù)即可； （3）分，，三種情況，進(jìn)行討論求解即可． 【詳解】（1）證明：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ； （2）∵， ∴， ， ， ． （3）是等腰直角三角形， ． 當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)， ， ． 當(dāng)時(shí)，是等腰三角形， ， ， ． 當(dāng)時(shí)，是等腰三角形， ， ． 綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形． 23．教材呈現(xiàn)：證明見解析；定理應(yīng)用：（1）30；（2）． 【分析】教材呈現(xiàn)：證明即可得證； （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和線段的和差關(guān)系即可求解； （2）在上取點(diǎn)F，使，過點(diǎn)B作于H，證明得出，證明得出，則，故當(dāng)B、P、F三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，最小值為，然后根據(jù)三角形面積求出即可． 【詳解】證明：在和中 ， ∴， ∴； 定理應(yīng)用： （1）解：∵、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周長(zhǎng)為20． 故答案為：30； （2）解：在上取點(diǎn)F，使，過點(diǎn)B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 當(dāng)B、P、F三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，最小值為， ∵，的面積為30， ∴， ∴， ∴的最小值為． 故答案為：．

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版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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