TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176383750" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc176383750 \h 2
\l "_Tc176383751" 題型一：空間向量的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc176383751 \h 2
\l "_Tc176383752" 題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算 PAGEREF _Tc176383752 \h 3
\l "_Tc176383753" 題型三：空間向量的共線與共面 PAGEREF _Tc176383753 \h 3
\l "_Tc176383754" 題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc176383754 \h 4
\l "_Tc176383755" 題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc176383755 \h 7
\l "_Tc176383756" 題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc176383756 \h 8
\l "_Tc176383757" 題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc176383757 \h 11
\l "_Tc176383758" 【重難點集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc176383758 \h 14
\l "_Tc176383759" 【高考真題】 PAGEREF _Tc176383759 \h 26
【題型歸納】
題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為，
所以，
故選：B
2．（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）向量，，，中，共面的三個向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A：若共面，則，即，
即，顯然不存在滿足題意，故不共面；
同理，B，C中的三個向量也不共面；
D：若共面，則，即，
即，故存在滿足題意，則共面.
故選：D.
3．（2024·高二·北京·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，所以
故選：A
4．（2024·高二·天津西青·階段練習(xí)）設(shè)點，，，若，則點的坐標(biāo)為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點B的坐標(biāo)為，則，
∵，∴，解得，
故選：C．
題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算
5．（2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，則 ．
【答案】
【解析】因為，
所以.
故答案為：.
6．（2024·高二·遼寧沈陽·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若四邊形為平行四邊形，則的值分別為 ．
【答案】
【解析】，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以．
故答案為: .
題型三：空間向量的共線與共面
7．（2024·高二·浙江麗水·期末）向量，，若與共線，則 , ．
【答案】 . 3.
【解析】分析：利用向量共線定理即可得出．
與共線，
∴存在實數(shù)使得：
， ，
故答案為 ，.
8．（2024·高二·山東濟(jì)寧·期末）若空間三點共線,則= ;=
【答案】 3 2
【解析】由題意得; ,
依題意可得，則，解得,
故答案為：3；2
9．（2024·高二·北京豐臺·期末）已知向量，，若與共線，則 .
【答案】
【解析】向量，，若與共線，
則有，解得.
故答案為：
10．（2024·高二·廣東·期末）已知向量與共線，則 .
【答案】15
【解析】由，得，解得.
故答案為：15
11．（2024·高二·河北石家莊·階段練習(xí)）已知點A?B?C?D的坐標(biāo)分別為，且A，B，C，D四點共面，則 .
【答案】3
【解析】由題意，A，B，C，D四點共面
故，使得
又
故
解得
故答案為：3
題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示
12．（2024·高二·廣東佛山·期末）在棱長為的正方體中，點是的中點．設(shè)在上的投影向量為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、、、，
，，
由題意可知，，
所以，.
故選：C.
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知的頂點分別為，，，則AC邊上的高BD等于（ ）．
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【解析】設(shè)，
則，
，
因為，
所以，即，
解得，
所以，
所以，
故選：C
14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【解析】根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.因為，，，，，
所以，則，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，則的最小值為.
故選：C.
15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若，且與的夾角的余弦值為，則( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
因為與的夾角的余弦值為，
所以==，解得，
∴=，
故選：C．
題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示
16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知兩平行直線的方向向量分別為，，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．3
C．1或3D．以上答案都不正確
【答案】C
【解析】由題意知.
因為，，
所以的充要條件是，
所以，
顯然符合題意，
當(dāng)時，由，得，
代入，得.
綜上，的值為1或3.
故選：C
17．（2024·高二·甘肅慶陽·期中）已知向量分別是直線的一個方向向量，若，則（ ）
A．-3B．-4C．3D．4
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，解得，
所以.
故選：C.
18．（2024·高二·河南平頂山·階段練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對于A，因為，所以A不正確；
對于B，因為，所以B正確；
對于C，因為，所以C不正確；
對于D，因為，所以D不正確．
故選：B．
19．（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）已知，若，則實數(shù)等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由，得，又，且，
則，所以.
故選：B
題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示
20．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）向量，，且，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由向量，，
可得，
結(jié)合，，即，
得，結(jié)合，解得，則.
故選：A
21．（2024·高二·廣東茂名·期末）如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點，（），且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則，，，，，
設(shè)，由，得，
所以，，，
所有，，
因為，，
所以，得.
故選：C.
22．（2024·高二·陜西銅川·階段練習(xí)）已知，，空間向量與垂直，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，
而，，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以當(dāng)時，取得最大值.
故選：D.
23．（2024·高二·江蘇淮安·階段練習(xí)）向量，若，且，則的值為（ ）
A．或1B．1C．3或D．3或1
【答案】A
【解析】由，則，可得，
又，則，可得，
當(dāng)，則；當(dāng)，則；
所以的值為或1.
故選：A
24．（2024·高二·陜西渭南·期末）若點，，，，且，則（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】，
因為，所以，解得，
所以，
所以，
故選：C
題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示
25．（2024·高二·遼寧大連·階段練習(xí)）已知，，則最大值為 .
【答案】
【解析】由題意可得：，
當(dāng)時，則，
因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以；
當(dāng)時，；
綜上所述：的最大值為，
故答案為：.
26．（2024·高二·江蘇鹽城·期末）已知，，點在直線上運動，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
所以，
既然求最大值，必有，令，
則
，
當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.
故答案為：.
27．（2024·高二·吉林·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，向量滿足，且與向量的夾角的余弦值為，請寫出一個向量的坐標(biāo)： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)，由，得
則向量的一個坐標(biāo)為：.（答案不唯一，坐標(biāo)滿足即可）
故答案為：.（答案不唯一）
28．（2024·高二·安徽宿州·期中）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且法向量為的平面點法式方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的空間直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：若空間直線的方程是，直線是兩個平面與的交線，則直線夾角為 ．
【答案】/
【解析】由題意空間直線：的方向向量為，
直線是兩個平面與的交線，
所以直線上的點滿足，不妨設(shè)，則，
所以，
所以直線的方程為，
從而直線：的方向向量為，
設(shè)直線夾角為，所以，
所以.
故答案為：.
29．（2024·高二·北京通州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【解析】因為，，，
所以，，
所以，
在的投影向量為.
故答案為：12；.
30．（2024·高二·上海奉賢·期中）如圖，為正方體，動點在對角線上，記．當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為 ．

【答案】
【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，
則；
，，
因為，所以，，
設(shè)，則，
即，解得，所以，
則，，
，
與是異面直線，顯然不是平角，
則為鈍角，有，解得．
所以的取值范圍為．
故答案為：.
【重難點集訓(xùn)】
1．（2024·高二·山東煙臺·期末）已知空間向量，，若與垂直，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，，
所以，
因為與垂直，
所以，
解得，
所以，
所以，
故選：B.
2．（2024·高二·湖南常德·階段練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，解得
當(dāng)共線時，由，即解得，
所以當(dāng)夾角為鈍角時，
故選：B
3．（2024·高二·福建三明·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，點P是的中點，則點P的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，長方體中，，，，
可得，
因為點為的中點，由中點公式可得，點的坐標(biāo)為.
故選：A.
4．（2024·高二·河北張家口·開學(xué)考試）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為，
則
故向量在向量上的投影向量是
故選：C.
5．（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）已知分別是空間直角坐標(biāo)系中軸、軸、軸的正方向上的單位向量，且，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．不確定
【答案】A
【解析】因為且是坐標(biāo)原點，
所以由空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的定義可知點的坐標(biāo)是.
故選：A.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】將正方體置于空間直角坐標(biāo)系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．
設(shè)，，，
和分別是點，在平面上的投影．
可得，，，
則
，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)點C為的中點時，等號成立，
可得，
所以，當(dāng)，，且時等號成立．
故選：B
7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知正方體不在同一表面上的兩個頂點，，則正方體的體積為（ ）
A．32B．64C．48D．
【答案】B
【解析】，
又因為，兩點不在同一表面上，
所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長.
設(shè)正方體的邊長為a，則，即，所以正方體的體積為64.
故選：B
8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）點P在平面內(nèi)的直線上，點P到點的距離最小，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知可設(shè)點，
當(dāng)與平面內(nèi)的直線垂直時，最小，，
因為點在平面內(nèi)的直線上，所以位該直線的一個方向向量，
當(dāng)最小時，，
即，
此時
所以當(dāng)時，取最小值，此時點.
故選：C．
9．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知向量，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】對于A，，故，故A錯誤；
對于B，，
，故B正確；
對于C，，故，故C錯誤；
對于D，，故，故D正確.
故選：BD
10．（多選題）（2024·高一·吉林通化·期末）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為D．的最大值為4
【答案】AC
【解析】對于A，若，且，
則存在唯一實數(shù)使得，即，
則，解得，故A正確；
對于B，若，則，即，
化簡得，因為，所以無實數(shù)解，故B錯誤；
對于CD，，故當(dāng)時，取得最小值為，無最大值，故C正確，D錯誤.
故選：AC.
11．（多選題）（2024·高二·福建龍巖·期中）如圖，正方體的棱長等于2，K為正方形的中心，M，N分別為棱，的中點.下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．的面積為
【答案】ACD
【解析】以點E為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，，，.
A：，，，
，A正確.
B：，B錯誤.
C：，C正確.
D：因為，則，所以，
，，
所以的面積，D正確.
故選：ACD.
12．（2024·高一·陜西寶雞·期末）已知，，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，
依題意得，解得，
所以點P的坐標(biāo)為.
故答案為：
13．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，，原點是的中點，點，點在平面內(nèi)，且，，則的長為 .

【答案】
【解析】過點作,垂足于點，如圖所示：
因為，，所以.
又，.
因為，，
所以，
則的長為.
故答案為：.
14．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點. 點為正方體表面上的動點，滿足. 給出下列四個結(jié)論：
①線段長度的最大值為；
②存在點，使得；
③存在點，使得；
④是等腰三角形.

其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
對①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時，線段長度的最大值為，
此時，，
所以，即滿足，故①正確；
對②，取正方形的中心M，連接，易知，
所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，
此時，，，即不滿足，
綜上不存在點，使得，故②錯誤；
對③，設(shè)，則，，若存在，
由，可得方程組，
化簡可得，解得 ，
顯然當(dāng)時滿足題意，
即存在點，使得，故③正確；
對④，設(shè)，若，
則，化簡可得，
由③知時可得，所以不妨取，
此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.
故答案為：①③④
15．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，底面是邊長為的正方形，與的交于點，，是邊上靠近的三等分點．

(1)設(shè)，，，用，，表示向量；
(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo)．
【解析】（1）依題意，，，，，，
．
（2）依題意，點，
，，，
．
16．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知空間三點，，．
(1)求的面積；
(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)向量的夾角為，
由空間三點，，，可得，，
，，
可得，
因為，所以，
所以三角形的面積為．
（2）因為，所以，其中，
因為，可得，即，
所以，
即或．
17．（2024·高二·全國·課堂例題）已知點，，如圖，以的方向為正向，在直線上建立一條數(shù)軸，，為軸上的兩點，且分別滿足條件：（1）；（2）．求點和點的坐標(biāo)．

【解析】（1）由已知，得，
即，．
設(shè)點坐標(biāo)為，則上式用坐標(biāo)表示，
得，
即，，．
因此，點的坐標(biāo)是．
（2）因為，
所以，
即，．
設(shè)點的坐標(biāo)為，則上式用坐標(biāo)表示，
得，
即，，．
因此，點的坐標(biāo)是．
18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，是的中點，，點在上，且．是否存在實數(shù)，使四點共面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
【解析】假設(shè)存在實數(shù)，使四點共面．
由正三棱柱的性質(zhì)可知為正三角形，取的中點，連接，則．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
故以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，
在平面內(nèi)，以過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
則，，，．
因為，
所以．
若四點共面，則存在滿足，
又，所以，解得，
故存在實數(shù)，使四點共面．
19．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)若點P在線段上，且滿足，試寫出點P的坐標(biāo)，并寫出點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)；
(2)在線段上找一點M，使得點M到點P的距離最小，求出點M的坐標(biāo).
【解析】（1）因為，所以，又，設(shè)，
則，解得，所以點P的坐標(biāo)為，
故點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為.
（2）由得，
故設(shè)線段上一點M的坐標(biāo)為，，
則有，
當(dāng)時，最小，所以點M的坐標(biāo)為.
【高考真題】
1．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，
對A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯誤；
對B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故B錯誤；
對C， 由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，
則由能推出，
對D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，
則當(dāng)無法推出，故D錯誤.
故選：C．
2．（2017年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（上海卷））如圖，以長方體的頂點為坐標(biāo)原點，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為
【答案】
【解析】 過的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為的坐標(biāo)為，所以,
所以.
3．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東A卷）數(shù)學(xué)（理科））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝ ．
【答案】
【解析】
，解得
故答案為：
4．（2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（寧夏卷））已知向量，且，則 ．
【答案】3
【解析】因為，
所以，
可得，
因為，解得，故答案為3.
5．（2000年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（新課程卷））如圖，直三棱柱，底面中，，，，M、N分別是、的中點．
(1)求的長；
(2)求的值；
(3)求證：．
【解析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
，
則，
所以，
則；
（2）由（1）知，
所以，
則，
所以；
（3）由（1）知，
所以，
則，
所以．
6．（2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷））記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當(dāng)為鈍角時，求的取值范圍．
【解析】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則相關(guān)點的坐標(biāo)分別為：???，則.
由，得，
而；
又.
由，
化簡得，解得.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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