知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
1、空間直角坐標(biāo)系
空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和一個(gè)單位正交基底 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸： SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 .
(2)相關(guān)概念： SKIPIF 1 < 0 叫做原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面，它們把空間分成八個(gè)部分．
2、空間向量的坐標(biāo)表示
2.1空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ，且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置由向量 SKIPIF 1 < 0 唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .在單位正交基底 SKIPIF 1 < 0 下與向量 SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 叫做點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)， SKIPIF 1 < 0 叫做點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)， SKIPIF 1 < 0 叫做點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的豎坐標(biāo)．
2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，給定向量 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 .由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作 SKIPIF 1 < 0 .
【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個(gè)單位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是空間的一個(gè)單位正交基底，則有 SKIPIF 1 < 0 .
所以向量 SKIPIF 1 < 0 用坐標(biāo)形式表示為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
知識(shí)點(diǎn)02：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：
知識(shí)點(diǎn)03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示
1、兩個(gè)向量的平行與垂直
特別提醒：在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，應(yīng)特別注意，只有在 SKIPIF 1 < 0 與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫成 SKIPIF 1 < 0 .例如，若 SKIPIF 1 < 0 與坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 平行，則 SKIPIF 1 < 0 ，這樣 SKIPIF 1 < 0 就沒(méi)有意義了.
【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為_(kāi)_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
空間向量長(zhǎng)度公式表示的是向量的長(zhǎng)度，其形式與平面向量長(zhǎng)度公式一致，它的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度
3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
∴所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
4、兩點(diǎn)間的距離公式
已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
題型01空間向量的坐標(biāo)表示
【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸? SKIPIF 1 < 0 軸? SKIPIF 1 < 0 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是________.
【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為1， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是___________.
題型02空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)寫出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)寫出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）
【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤粝蛄?SKIPIF 1 < 0 ，滿足條件 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問(wèn)題）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 平行，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．17C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的球面上，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______．
【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P在長(zhǎng)方體表面上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1、1、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_(kāi)_______.
題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長(zhǎng)度））
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，H為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．求| SKIPIF 1 < 0 |.
【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____．
【變式1】（2023秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為_(kāi)_____.
題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）
【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ____________．
題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問(wèn)題）
【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)度的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，求線段 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)的最小值．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且對(duì)于任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空間互相垂直的單位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間兩兩垂直的單位向量， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_______．
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_________．
題型08空間向量的夾角問(wèn)題（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二?？计谀┮阎臻g向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值.
【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 等于（ ）.
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．0或 SKIPIF 1 < 0 D．0或 SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值是______．
【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值.
題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例3】（2023·高二單元測(cè)試）向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【變式1】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀┰O(shè) SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型11空間向量的垂直關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)若向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 共面向量，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角余弦值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值．
題型12易錯(cuò)題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)
【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值可能為（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_(kāi)_____.
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_(kāi)_______．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角是鈍角，則 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范圍為_(kāi)_________.
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角是銳角，則 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范圍為_(kāi)_________.
1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．40C．6D．36
3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下， SKIPIF 1 < 0 是空間的一組單位正交基底， SKIPIF 1 < 0 是空間的另一組基底.若向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為120°，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若棱 SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵” SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在“塹堵”的側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于平面 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0
10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 為鈍角D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．
12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.
四、解答題
13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
②求 SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別在棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 取最小值時(shí)的 SKIPIF 1 < 0 值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023春·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，若∠BMD為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,3)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2,1,2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為鈍角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的范圍是______.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．則MN的長(zhǎng)的最小值為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩個(gè)非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________．
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學(xué)?？计谀┮阎?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．
問(wèn)題：如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 ，中，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，______，則是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義
②會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算
③會(huì)求空間向量的夾角、長(zhǎng)度以及有關(guān)平行、垂直的證明
利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運(yùn)算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.
運(yùn)算
坐標(biāo)表示
加法
SKIPIF 1 < 0
減法
SKIPIF 1 < 0
數(shù)乘
SKIPIF 1 < 0
數(shù)量積
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
平行（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
垂直（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

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