一、教材分析


通過類比平面向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，從而引入空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間，在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的幾何形式和運(yùn)算，以及在空間向量基本定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其規(guī)律，是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在空間推廣和拓展，為運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ)。


二、教學(xué)目標(biāo)





三、重難點(diǎn)


1.教學(xué)重點(diǎn)：理解空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算


2.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題











教學(xué)中主要突出了幾個(gè)方面：一是創(chuàng)設(shè)問題情景，通過數(shù)學(xué)家思想的簡(jiǎn)介，讓學(xué)生初步體會(huì)空間向量坐標(biāo)化的基本思想，并以此來激發(fā)學(xué)生的探究心理。二是運(yùn)用類比學(xué)習(xí)法，通過對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的溫習(xí)，來學(xué)習(xí)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。


課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A. 了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示


B.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示


C.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用


D.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問題
1.數(shù)學(xué)抽象： 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示


2.邏輯推理：空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用；


3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題；



四、教學(xué)過程
教學(xué)設(shè)計(jì)意圖


核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、情境導(dǎo)學(xué)


我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡(jiǎn)單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系,對(duì)于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….”


吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.


二、探究新知


一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示


1.空間直角坐標(biāo)系


在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底i,j,k,以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.





1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分.


2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.


2.點(diǎn)的坐標(biāo)


在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OA,且點(diǎn)A的位置由向量OA唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).





3.向量的坐標(biāo)


在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作OA=a由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z).





小試牛刀


1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個(gè)單位正交基底,則a的坐標(biāo)為 .


(3,2,-1)


答案:向量OP的坐標(biāo)恰好是終點(diǎn)P的坐標(biāo),這就實(shí)現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.


思考：在空間直角坐標(biāo)系中,向量OP的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系?


二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示


1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則


設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么


向量運(yùn)算
向量表示
坐標(biāo)表示

加法
a+b


減法
a-b


數(shù)乘
λa


數(shù)量積
a·b





(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ;(a1-b1,a2-b2,a3-b3) ;(λa1,λa2,λa3) ;a1b1+a2b2+a3b3


2.空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:


設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).


即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).


3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示


若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則


(1)當(dāng)b≠0時(shí),a∥b?a=λb? (λ∈R);


(2)a⊥b? ? .


a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 ;a·b=0 ;a1b1+a2b2+a3b3=0


點(diǎn)睛：當(dāng)b的坐標(biāo)中b1,b2,b3都不等于0時(shí),a與b平行的條件還可以表示為a∥b?a1b1=a2b2=a3b3


4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示


若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則


(1)|a|=a·a= ;


(2)cs=a·b|a||b|= ;


(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則P1,P2兩點(diǎn)間的距離為|P1P2|= .


a12+a22+a32;a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32;(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.





小試牛刀


1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n= ,3m-n= ,(2m)·(-3n)= .


(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168


解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),


(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.


2.已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ= ,若a⊥b,則 λ= .


4 ;-23


解析:若a∥b,則有2λ=λ8=-1λ-6,解得λ=4.若a⊥b,則a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-23.


3.已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),則|a|= ,a與b夾角的余弦值等于 .


答案:3 69


解析:|a|=a·a=(-2)2+22+(3)2=3,a與b夾角的余弦值cs=a·b|a||b|=-6+12+03×36=69.


例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求DO,A1B的坐標(biāo).


思路分析先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量基本定理,將DO,A1B用基底表示,即得坐標(biāo).


解:由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,從而建立以O(shè)A,OB,OO1方向上的單位向量i,j,k為正交基底的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖,則OA=4i,OB=2j,OO1=4k,


DO=-OD=-(OO1+O1D)=-OO1+12(OA+OB)=-OO1-12OA-12OB=-2i-j-4k,故DO的坐標(biāo)為(-2,-1,-4).


A1B=OB-OA1=OB-(OA+AA1)=OB-OA-AA1=-4i+2j-4k,


故A1B的坐標(biāo)為(-4,2,-4).


即DO=(-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-4).








用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:





跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),若以{AB,AD,AA1}為基底,則向量AE的坐標(biāo)為 ,向量AF的坐標(biāo)為 ,向量AC1的坐標(biāo)為 .








答案:12,1,1 1,12,1 (1,1,1)


解析:因?yàn)锳E=AD+DD1+D1E=12AB+AD+AA1,所以向量AE的坐標(biāo)為12,1,1.


因?yàn)锳F=AB+BB1+B1F=AB+12AD+AA1,


所以向量AF的坐標(biāo)為1,12,1.


因?yàn)锳C1=AB+AD+AA1,所以向量AC1的坐標(biāo)為(1,1,1).





例2已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).


(1)求AB+CA,CB-2BA,AB·AC;


(2)若點(diǎn)M滿足AM=12AB+34AC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);


(3)若p=CA,q=CB,求(p+q)·(p-q).


思路分析先由點(diǎn)的坐標(biāo)求出各個(gè)向量的坐標(biāo),再按照空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.


解:(1)因?yàn)锳(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以AB=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9).


所以AB+CA=(-4,5,5)，又CB=(-4,5,5),BA=(3,-5,4),


所以CB-2BA=(-10,15,-3)，又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),


所以AB·AC=-3+0+36=33.


(2)由(1)知,AM=12AB+34AC=12(-3,5,-4)+34(1,0,-9)=-34,52,-354,


若設(shè)M(x,y,z),則AM=(x-1,y+2,z-4),


于是x-1=-34,y+2=52,z-4=-354,解得x=14,y=12,z=-194,故M14,12,-194.


(3)由(1)知,p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5).


(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.


(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.


空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):


(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).


(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.


(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算:(a ± b)2=a2±2a·b+b2; (a+b)·(a-b)=a2-b2.


跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).


(1)求頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo);


(2)求CA·BC;


(3)若點(diǎn)P在AC上,且AP=12PC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).


解:(1)設(shè)B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以AB=(x-2,y+5,z-3),BC=(x1-x,y1-y,z1-z).


因?yàn)锳B=(4,1,2),所以x-2=4,y+5=1,z-3=2,解得x=6,y=-4,z=5,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,-4,5).


因?yàn)锽C=(3,-2,5),所以x1-6=3,y1+4=-2,z1-5=5,解得x1=9,y1=-6,z1=10,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9,-6,10).


(2)因?yàn)镃A=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),所以CA·BC=-21-2-35=-58.


(3)設(shè)P(x2,y2,z2),則AP=(x2-2,y2+5,z2-3),PC=(9-x2,-6-y2,10-z2),于是有(x2-2,y2+5,z2-3)=12(9-x2,-6-y2,10-z2),


所以x2-2=12(9-x2),y2+5=12(-6-y2),z2-3=12(10-z2),解得x2=133,y2=-163,z2=163,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為133,-163,163.


例3已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=AB,b=AC.


(1)若|c|=3,c∥BC,求c;


(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.


思路分析(1)根據(jù)c∥BC,設(shè)c=λBC,則向量c的坐標(biāo)可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;


(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.


解:(1)∵BC=(-2,-1,2)且c∥BC,∴設(shè)c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).


∴|c|=(-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2=3|λ|=3,解得λ=±1.


∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).


(2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).


∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,


即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52.


向量平行與垂直問題主要題型


(1)平行與垂直的判斷;


(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.


跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).


(1)若a∥b,分別求λ與m的值;


(2)若|a|=5,且與c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.


解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),


∴λ+1=6k,1=k(2m-1),2λ=2k,解得λ=k=15,m=3.∴λ=15,m=3.


(2)∵|a|=5,且a⊥c,∴(λ+1)2+12+(2λ)2=5,(λ+1,1,2λ)·(2,-2λ,-λ)=0,化簡(jiǎn),得5λ2+2λ=3,2-2λ2=0,解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).








例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).





(1)求BM,BN的長(zhǎng).


(2)求△BMN的面積.


思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點(diǎn)的坐標(biāo),從而得BM,BN 在此處鍵入公式。的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長(zhǎng)度.對(duì)于(2),可利用夾角公式求得cs∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計(jì)算.


解:以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).


則B(0,1,0),M(1,0,1),N0,12,1.


(1)∵BM=(1,-1,1), BN=0,-12,1,


∴|BM|=12+(-1)2+12=3,


|BN|=02+-122+12=52.故BM的長(zhǎng)為3,BN的長(zhǎng)為52.








(2)S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠MBN.


∵cs∠MBN=cs=BM·BN|BM||BN|=323×52=155,


∴sin∠MBN=1-1552=105,


故S△BMN=12×3×52×105=64.即△BMN的面積為64.


反思感悟向量夾角與模的計(jì)算方法


利用坐標(biāo)運(yùn)算解 空間向量夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.


跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點(diǎn),則cs∠EAF= ,EF= .











答案:25 62


解析:以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則


E0,12,1,F1,0,12,∴AE=0,12,1,AF=1,0,12,EF=1,-12,-12,


∴cs=AE·AF|AE|·|AF|=1252×52=25,∴cs∠EAF=25,EF=|EF|=62.


一題多變——空間向量的平行與垂直


典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD=λDQ,求λ的值.


解:如圖所示,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),


E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),








由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1),


因?yàn)?B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),


所以3a-3=-a,解得a=34,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為34,34,1.


由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b,b,0),


因?yàn)镻Q⊥AE,所以PQ·AE=0,所以(b-34,b-34,-1)·(-1,0,12)=0,


即-(b-34)-12=0,解得b=14,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(14,14,0),


因?yàn)锽D=λDQ,所以(-1,-1,0)=λ(14,14,0),所以λ4=-1,故λ=-4.





延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?


解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(c,c,0),因?yàn)锽1Q⊥EQ,所以B1Q·EQ=0,


所以(c-1,c-1,-1)·c,c,-12=0,即c(c-1)+c(c-1)+12=0,4c2-4c+1=0,


解得c=12,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為12,12,0,


所以點(diǎn)Q是線段BD的中點(diǎn),所以BD=-2DQ,故λ=-2.


延伸探究2本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點(diǎn)H的位置.


解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,因?yàn)辄c(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為12,0,12,


因?yàn)辄c(diǎn)H在平面xOy上,設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m,n,0),


因?yàn)镚H=m-12,n,-12,BD1=(-1,-1,1),且GH∥BD1,所以m-12-1=n-1=-121,解得m=1,n=12.


所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為1,12,0,所以點(diǎn)H為線段AB的中點(diǎn).



創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想







































































由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系，類比平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算，從而學(xué)習(xí)空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算。

























































































通過對(duì)空間向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)化的基本原理和方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。


















































































































































通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
































































































































通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。



三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)


1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標(biāo)為(2,1,-3).若分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則a的空間直角坐標(biāo)為( )





A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)


答案:D


解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9).


2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是( )


A.b=(1,0,0)B.c=(0,-1,0) C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)


答案:B


解析:比較選項(xiàng)中各向量,觀察哪個(gè)向量符合λa=(0,λ,0)的形式,經(jīng)過觀察,只有c=-a.


3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,則k的值等于( )


A.1B.35C.25 D.15


答案:D


解析:由已知得|a|=2,|b|=22,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=15.


4.已知點(diǎn)A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點(diǎn)的距離的最小值為( )


A.31010B.55C.355D.35


答案:C


解析:因?yàn)辄c(diǎn)A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,由二次函數(shù)性質(zhì)易知,當(dāng)t=15時(shí),取得最小值為95.∴AB的最小值為355,故選C.


5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).


(1)計(jì)算2a-3b和|2a-3b|. (2)求.


解:(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8).


|2a-3b|=12+(-5)2+82=310.


(2)cs=a·b|a||b|=93×32=22,又∈[0,π],故=π4.


6.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).


(1)求證：EF⊥CF；(2)求eq \(EF,\s\up14(―→))與eq \(CG,\s\up14(―→))所成角的余弦值；(3)求CE的長(zhǎng).


解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，





則D(0,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).


所以eq \(EF,\s\up14(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(CF,\s\up14(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up14(―→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up14(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2))).


(1)證明 因?yàn)閑q \(EF,\s\up14(―→))·eq \(CF,\s\up14(―→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，


所以eq \(EF,\s\up14(―→))⊥eq \(CF,\s\up14(―→))，即EF⊥CF.


(2)因?yàn)閑q \(EF,\s\up14(―→))·eq \(CG,\s\up14(―→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋(－eq \f(1,2))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，


|eq \(EF,\s\up14(―→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，


|eq \(CG,\s\up14(―→))|＝eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，∴cs〈eq \(EF,\s\up14(―→))，eq \(CG,\s\up14(―→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up14(―→))·\(CG,\s\up14(―→)),|\(EF,\s\up14(―→))||\(CG,\s\up14(―→))|)＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15). (3)|eq \(CE,\s\up14(―→))|＝ eq \r(02＋?－1?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).



通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。












四、小結(jié)


課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？


平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示


空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示


數(shù)形結(jié)合





類比




















簡(jiǎn)單的立體幾何問題











五、課時(shí)練



通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。

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1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

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