考點一 空間向量的坐標表示
【例1-1】（2023·河南）在正方體中，若點是側面的中心，則在基底下的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，為的中點，
∴，
∴坐標為.
故選：D
【例1-2】（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（ ）
A．點的坐標為（2，0，2）B．
C．的中點坐標為（1，1，1）D．點關于y軸的對稱點為（－2，2，－2）
【答案】BCD
【解析】根據題意可知點的坐標為，故A錯誤；
由空間直角坐標系可知： ,故B正確；
由空間直角坐標系可知：,故的中點坐標為（1，1，1），故C正確；
點坐標為，關于于y軸的對稱點為（－2，2，－2），故D正確，
故選：BCD
【例1-3】．（2023春·高二課時練習）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當?shù)淖鴺讼登笙蛄浚?，的坐標?br>【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【解析】由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示．
則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【一隅三反】
1．（2023·北京）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】在等邊中，，所以，則，，則.
故選：ABC
2．（2023山東）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點，若以為基底，則向量的坐標為___，向量的坐標為___，向量的坐標為___.
【答案】
【解析】因為，所以向量的坐標為.
因為，
所以向量的坐標為.
因為，所以向量的坐標為.
故答案為：；；
3．（2023春·高二課時練習）在平行六面體中，底面是矩形，，，平行六面體高為，頂點在底面的射影是中點，設的重心，建立適當空間直角坐標系并寫出下列點的坐標.

(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【解析】1）
如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，以過點作的平行線為軸建立空間直角坐標系．
設點，點在平面上則，
由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，
到軸投影對應數(shù)值為，則，即，
設點，點在平面上則，
由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，
到軸投影對應數(shù)值為，則，即，
設點，點在平面上則，
由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，
到軸投影對應數(shù)值為，則，即，
且點在軸上，則.
（2）是的重心，由三角形重心公式可得
.
（3）設，且，則，，
又 ，即
點B坐標為.
考點二 空間向量的坐標運算
【例2-1】（2023湖北）（多選）已知向量，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因為，，
所以，，，
.故正確的選項為ACD.
故選：ACD
【例2-2】（2022·四川省蒲江縣蒲江中學）設、，向量，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，則，解得，則，
因為，則，解得，即，
所以，，因此，.故選：D.
【一隅三反】
1．（2023陜西）（多選）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因為，
所以，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確.
故選：AD.
2．（2022·福建省）（多選）已知空間向量，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．與夾角的余弦值為
【答案】BCD
【解析】對于A選項：，不存在，使得，故A錯誤；
對于B選項：，，故B正確；
對于C選項：，，
則，故C正確；對于D選項：，，
所以，故D正確；故選：BCD.
3．（2023·江蘇·高二專題練習）（1）已知向量.
①計算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求實數(shù)；
②若，求實數(shù).
【答案】（1）①，；②；（2）①；②
【解析】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因為向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
考點三 向量的坐標表示的應用
【例3-1】（2023上海）如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．
（1）求 的模；
（2）求cs〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M.
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【解析】（1）如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系. 由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴＝＝.
（2）由題意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
∴cs〈，〉＝＝.
（3）由題意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，即A1B⊥C1M.
【一隅三反】
1．（2023·廣東佛山·高二校考階段練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決如下問題：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【解析】（1）解：因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則，，所以，，則.
（2）解：依題意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
（3）證明：依題意得、、、、，
則，，，
所以，，，
則，，即，，
又因為，所以，平面.
2．（2023廣西）已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）寫出點的坐標；
（2）求線段的長度；
（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由見解析.
【解析】（1）由于為坐標原點，所以
由得：
點N是AB的中點，點M是的中點，；
（2）由兩點距離公式得：，
；
（3）直線與直線不垂直
理由：由（1）中各點坐標得：
與不垂直，所以直線與直線不垂直
3．（2023天津）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，，，分別為，，的中點．若，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）以為原點，分別以射線??為軸?軸?軸的正半軸，建立空間直角坐標系.
則，，，，，，
所以，則.

（2）由（1）知，，
所以；
考點四 空間向量解決探索問題
【例4】（2022·高二課時練習）在直三棱柱中，，，，．
(1)在上是否存在點，使得？
(2)在上是否存在點，使得平面？
【答案】(1)存在
(2)存在
【解析】(1)直三棱柱中，，，，則、、 兩兩垂直
如圖，以為坐標原點，射線、、分別為軸的正向建立空間直角坐標系，則，，，，．
（1）假設在AB上存在點D，使得，
則，其中，則，于是，
由于，且，所以，得，
所以在AB上存在點D，使得，且這時點D與點B重合．
(2)
假設在AB上存在點D，使得平面，則，其中，
則，．
又，，平面，
所以存在實數(shù)，使成立，
∴，，．
所以，所以在上存在點使得平面，且是的中點．
【一隅三反】
1．（2023·安徽滁州）已知．
(1)求；
(2)已知點在直線上，求的值；
(3)當為何值時，與垂直？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1），
，
．
（2）因為點在直線上，與共線，
則存在使得，即，
，解得；
（3），
與垂直,
，
，
時，與垂直．
2．（2023·江蘇·高二專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
問題：如圖，在正方體，中，以為坐標原點，建立空間直角坐標系．已知點的坐標為，為棱上的動點，為棱上的動點，______，則是否存在點，，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】答案見解析
【解析】方案一：選條件①．
假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，則，，，，，所以．設，，則，，，所以，．
因為，所以，即．
因為，，所以，所以．又，
所以，故存在點，，滿足，此時．
方案二：選條件②．
假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，則，，，，，所以．
設，，則，，，
所以，．因為，且，
所以，解得．又，所以，
故存在點，，滿足，此時．
方案三：選條件③．假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，
則，，，，所以，．
設，，則．因為，
所以與不共線，所以，即，
則，
故不存在點，滿足．

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