TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc170916274" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc170916274 \h 1
\l "_Tc170916275" 題型一：空間向量的有關(guān)概念 PAGEREF _Tc170916275 \h 1
\l "_Tc170916276" 題型二：空間向量的加減運(yùn)算 PAGEREF _Tc170916276 \h 3
\l "_Tc170916277" 題型三：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 PAGEREF _Tc170916277 \h 5
\l "_Tc170916278" 題型四：共線向量定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc170916278 \h 6
\l "_Tc170916279" 題型五：共面向量及應(yīng)用 PAGEREF _Tc170916279 \h 8
\l "_Tc170916280" 題型六：空間向量的數(shù)量積 PAGEREF _Tc170916280 \h 11
\l "_Tc170916281" 題型七：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角 PAGEREF _Tc170916281 \h 13
\l "_Tc170916282" 題型八：利用空間向量的數(shù)量積證垂直 PAGEREF _Tc170916282 \h 16
\l "_Tc170916283" 題型九：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度 PAGEREF _Tc170916283 \h 19
\l "_Tc170916284" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc170916284 \h 21
\l "_Tc170916285" 【高考真題】 PAGEREF _Tc170916285 \h 31
【題型歸納】
題型一：空間向量的有關(guān)概念
1．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個(gè).
故選：C
2．（2024·高二·山東濟(jì)南·期中）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量
B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等
C．若向量滿足，則
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【解析】相反向量指的是長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，故A錯(cuò)誤；
單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯(cuò)誤；
向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；
相等向量其方向必相同，故D正確；
故選：D.
3．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題：
①零向量沒(méi)有方向；
②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；
③若空間向量滿足，則；
④若空間向量滿足，則；
⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】D
【解析】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等．但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；
根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯(cuò)誤；
命題④顯然正確；
對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤．
故選：D.
4．（2024·高二·湖南·期中）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．零向量與任意向量平行
B．任意兩個(gè)空間向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量
【答案】C
【解析】由已知，
選項(xiàng)A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B，平面由兩個(gè)不平行的向量確定，任意兩個(gè)向量可通過(guò)平移形成相交，故一定可以確定一個(gè)平面，該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，該選項(xiàng)正確.
故選：C.
題型二：空間向量的加減運(yùn)算
5．（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故選：A
6．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中正確的共有（ ）
①與是一對(duì)相反向量；
②與是一對(duì)相反向量；
③與是一對(duì)相反向量；
④與是一對(duì)相反向量．
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】C
【解析】
對(duì)于①，，，，
與是一對(duì)相反向量，①正確；
對(duì)于②，，，又，
與不是相反向量，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，，，，
,
與是一對(duì)相反向量，③正確；
對(duì)于④，，，又，
與是一對(duì)相反向量，④正確.
故選：C.
7．（2024·高二·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則，
所以.
故選：C
8．（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列各式：

(1)；
(2)．
【解析】（1）因?yàn)?，?br>所以．
（2）因?yàn)?，所?br>．
題型三：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
9．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD中，G為的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式.
(1)；
(2).
【解析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得

.
（2）分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有
根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.
10．（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：．
【解析】原式．
11．（2024·高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：．
【解析】
.
12．（2024·高二·全國(guó)·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列算式：
(1)；
(2).
【解析】（1）.
（2）.
題型四：共線向量定理的應(yīng)用
13．（2024·高二·福建龍巖·期中）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由，，
得，
因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
則，解得.
故選：C.
14．（2024·高二·貴州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足， ，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上
D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上
【答案】B
【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，
所以，則點(diǎn)在棱上，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)， ， ，
即，即
所以點(diǎn)在線段上，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，即，
所以點(diǎn)在棱上，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，
所以，，
所以，
即，即，
所以點(diǎn)在線段上，故正確．
故選：．
15．（2024·高二·北京·期中）已知是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（ ）
A．共線B．共線
C．共面D．不共面
【答案】C
【解析】若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；
同理若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C
16．（2024·高二·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知向量，不共線，，，，則（ ）
A．與共線B．與共線
C．，，，四點(diǎn)不共面D．，，，四點(diǎn)共面
【答案】D
【解析】對(duì)于A，，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，，
又，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、D，若，，，四點(diǎn)共面，
則有，
，即，故，
故，，，四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
題型五：共面向量及應(yīng)用
17．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知為空間任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，，
所以，
所以，
因?yàn)锳，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，
所以，解得．
故選：C．
18．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以，所以.
故選:C．
19．（2024·高二·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)任意作一個(gè)平面分別交線段，，于點(diǎn)，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
【解析】聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，
則
.
聯(lián)結(jié)DM，點(diǎn)，，，M共面，故存在實(shí)數(shù)，
滿足，即，
因此，
由空間向量基本定理知，
，
故，為定值.
20．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．
【解析】設(shè)，則，
為的中點(diǎn)，，
又，，
，
為共面向量，
又三向量有相同的起點(diǎn)，四點(diǎn)共面．
題型六：空間向量的數(shù)量積
21．（2024·高二·貴州·期中）如圖，在三棱柱中，分別為和的中點(diǎn)，設(shè)．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【解析】（1）由向量的線性運(yùn)算法則，可得：
．
（2）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得：
．
22．（2024·高二·廣東廣州·期中）如圖,給定長(zhǎng)方體,,,點(diǎn)在棱的延長(zhǎng)線上,且.設(shè),,.

(1)試用表示向量;
(2)求.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在棱的延長(zhǎng)線上,且,
所以,
則.
（2）由題意得,
則,
所以.
23．（2024·高二·江西贛州·期中）在平行六面體中，，，E為線段上更靠近的三等分點(diǎn)
(1)用向量，，表示向量；
(2)求；
(3)求.
【解析】（1）如圖，
.
（2）
,
.
（3）
.
24．（2024·高二·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）某圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是底面圓的一條直徑，是側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】-1
【解析】設(shè)圓錐底面圓的圓心O，則，
則圓錐的高，
，
當(dāng)垂直于過(guò)P點(diǎn)的母線時(shí)，長(zhǎng)最小，即為，
故的最小值為，
故答案為：-1
題型七：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角
25．（2024·高二·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）在平行六面體中，，，為與的交點(diǎn).
(1)用向量表示；
(2)求線段的長(zhǎng)及向量與的夾角.
【解析】（1）因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)?br>，所以，
因?yàn)椋?br>.
所以，即兩向量的夾角為.
26．（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）空間四邊形中，，，，且異面直線與成，則異面直線與所成角的大小為 .
【答案】/
【解析】因?yàn)楫惷嬷本€與成角，則與夾角為或，
又，.
兩邊平方，得，
即，
或，
（或舍去）.
即與夾角為，所以異面直線與所成角為.
故答案為：.
27．（2024·高二·山東·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形.側(cè)棱的長(zhǎng)為4，且.

(1)求的長(zhǎng)；
(2)求直線與所成角的余弦值.
【解析】（1）由圖，可得.
則
（2）注意到，
則
，，.
.
則與所成角的余弦值為.
題型八：利用空間向量的數(shù)量積證垂直
28．如圖，正方體
（1）求和的夾角；
（2）求證．
【解析】（1）聯(lián)結(jié)，，則，和的夾角即和的夾角，
在正方體中，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則，
則是等邊三角形，即
故和的夾角為
（2）聯(lián)結(jié)，則，
又平面，平面，
則，又
故平面，又平面，
所以
29．已知四面體OABC，，．求證：．
【解析】
因?yàn)?
所以,
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即.
30．如圖所示，已知是所在平面外一點(diǎn)，，求證：在平面上的射影是的垂心．
【解析】∵，
∴，，，平面，
∴．
由題意可知，平面，
∴，，，
∴，
∴．
同理可證，．
∴是的垂心．
31．（山西省太原市2023-2024學(xué)年高二期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 ）如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是OC，AB的中點(diǎn)，記，，.
(1)用向量表示向量；
(2)求證.
【解析】（1）根據(jù)題意，
.
（2）根據(jù)題意，相互之間的夾角為，且模均為1，由（1）
，
所以.
32．如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．
【解析】設(shè)，，，
由于四邊形為菱形，則，即，
所以，，同理可得，
由題意可得，，
所以，，所以，，
同理可證，
因?yàn)?，因此，平?
題型九：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度
33．（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，則 .
【答案】3
【解析】由題意知，所以
，
即，
解得，即.
故答案為：3.
34．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量?jī)蓛蓨A角為，且，則 ．
【答案】
【解析】由題意可得：
，
故.
故答案為：.
35．（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P為空間內(nèi)不共線的四點(diǎn)，G為的重心．
(1)證明：；
(2)若向量，，的模長(zhǎng)均為2，且兩兩夾角為，求．
【解析】（1）證明：因?yàn)镚是的重心，所以，
則，
即.
（2）由（1）得，
所以，
，即．
36．（2024·高二·重慶·期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn)．

(1)求；
(2)求的長(zhǎng)．
【解析】（1）.
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
所以的長(zhǎng)為.
37．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足.
(1)用向量表示；
(2)求.
【解析】（1）因?yàn)镸是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足.
所以；
（2）因?yàn)檎拿骟w（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，
所以，，
所以，
所以
，所以.
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（山東省日照市2024屆高三校際聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題）已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，
所以，
點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直徑時(shí)，，
所以的最大值為.
故選：B.
2．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】因圖中是四個(gè)相同的正方體排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一個(gè)．
故選：A.
3．（2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷（五））已知圓錐的底面半徑為2，點(diǎn)P為底面圓周上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面（異于頂點(diǎn)和底面圓周）上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，延長(zhǎng)交底面圓周于B，過(guò)Q作底面圓于G點(diǎn)，
顯然，
由題意可知，
所以的取值范圍為.
故選：A
4．（江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二期末數(shù)學(xué)考試）已知平行六面體中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，
故，
所以.
故選：B.
5．（2024南通名師高考原創(chuàng)卷（六））在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，截面與正方體側(cè)面交于線段，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫O(shè)平面平面，平面平面，所以，
又因?yàn)?，所?br>過(guò)點(diǎn)作，可得，
則為的中點(diǎn)，為的四等分點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以為的四等分點(diǎn)，所以.
故選：C．
6．（貴州省六盤(pán)水市2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，不共面，若，，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，故，解得，
所以.
故選：C
7．（山西省朔州市應(yīng)縣第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二期末數(shù)學(xué)試題）如圖，面為矩形，連接，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（ ）

A．與B．與
C．與D．與
【答案】A
【解析】由于平面，平面，
所以，則與垂直，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，所以與垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以與垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由于與不一定垂直，是在平面內(nèi)的射影，
所以與不一定垂直，即與的數(shù)量積不一定為，A選項(xiàng)正確.
故選：A
8．（江蘇省淮安市2024屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）在四面體中，，，，，則的值為（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【解析】因?yàn)?，?br>所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.
故選：B
9．（多選題）（山西省長(zhǎng)治市2023-2024學(xué)年高二3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在正三棱柱中，為空間一動(dòng)點(diǎn)，若，則（ ）

A．若，則點(diǎn)的軌跡為線段
B．若，則點(diǎn)的軌跡為線段
C．存在，使得
D．存在，使得平面
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A：由，得點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界），
若，則，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；
對(duì)于B：若，則，所以，即，
又，故點(diǎn)的軌跡為線段，故B正確；
對(duì)于C：分別取棱的中點(diǎn)，連接，由題意易證平面，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，故存在，使得，故C正確；
對(duì)于D：若使平面，則點(diǎn)必在棱上，此時(shí)，故不存在，
使得平面，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．（多選題）（重慶市康德卷2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高考模擬調(diào)研卷（三）數(shù)學(xué)試題）在平行六面體中，已知，，若，，，則（ ）
A．的最小值為B．的最大值為
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】AC
【解析】
如圖：，，，，
則由題意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故A正確，
又，故，
，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，
因，，最后等號(hào)成立條件為，
所以，故B錯(cuò)誤，
，
所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，
故選：AC
11．（多選題）（福建省寧德市博雅培文學(xué)校2024屆高三高考前最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．、、、四點(diǎn)可以共面
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由于單位向量，，兩兩夾角均為，
所以，
假設(shè)、、、四點(diǎn)可以共面，則共面，
所以存在，使得，分別用，，與點(diǎn)乘，
則，由于該方程組無(wú)解，所以不存在，使得共面，
故、、、四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，,故B正確，
對(duì)于C，由得，
由得,
所以,則
,故C正確；
對(duì)于D，，
故，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
12．（上海市七寶中學(xué)2024屆高三三?？荚嚁?shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，若，則 ．
【答案】
【解析】由點(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，得，
所以.
故答案為：
13．（貴州省2024屆高三4月新高考“大數(shù)據(jù)賦分”診斷性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知正方體的頂點(diǎn)均在半徑為1的球表面上，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，為球的一條直徑，則正方體的體積是 ，的范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由題意，，則正方體體積，
因?yàn)?br>，
因?yàn)辄c(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，
所以，故范圍為
故答案為：，．
14．（廣東省博羅縣2023-2024學(xué)年高二期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來(lái)表示）.

【答案】
【解析】由題意，
在三棱錐中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量為：
，
故答案為：.
15．已知長(zhǎng)方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，，且平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度是 .
【答案】
【解析】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點(diǎn)，則，，
由面，面，則面，
同理可證面，，面，
所以面面，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部，又，
所以點(diǎn)在側(cè)面，故的軌跡為線段，
因?yàn)?，，所?
故答案為：
【高考真題】
1．（2001年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，
所以.
故選：A.

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課后練習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課后練習(xí)題，共30頁(yè)。

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.2 直線的方程精練：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.2 直線的方程精練，共30頁(yè)。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 圓的方程課時(shí)訓(xùn)練：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 圓的方程課時(shí)訓(xùn)練，共25頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓精練

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓精練
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1 數(shù)列的概念同步訓(xùn)練題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1 數(shù)列的概念同步訓(xùn)練題
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法習(xí)題
必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念練習(xí)

必修 第一冊(cè)1.1 集合的概念練習(xí)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部