導(dǎo)語(yǔ)
前面我們通過(guò)引入空間直角坐標(biāo)系，將空間向量的坐標(biāo)與空間點(diǎn)的坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)．那么有了空間向量的坐標(biāo)表示，類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同學(xué)們是否可以探究出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示并給出證明？
一、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
知識(shí)梳理
設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意點(diǎn)：
(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．
(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．
例1 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.
答案 －4
解析 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)在△ABC中，A(2，－5,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)．
①求頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
②求eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；
③若點(diǎn)P在AC上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解 ①設(shè)B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－2，y＋5，z－3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝(4,1,2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝4，,y＋5＝1，,z－3＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－4，,z＝5，))
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，－4,5)．
因?yàn)閑q \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－6＝3，,y1＋4＝－2，,z1－5＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝9，,y1＝－6，,z1＝10，))
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9，－6,10)．
②因?yàn)閑q \(CA,\s\up6(→))＝(－7,1，－7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－21－2－35＝－58.
③設(shè)P(x2，y2，z2)，
則eq \(AP,\s\up6(→))＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝eq \f(1,2)(9－x2，－6－y2,10－z2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2＝\f(1,2)?9－x2?，,y2＋5＝\f(1,2)?－6－y2?，,z2－3＝\f(1,2)?10－z2?，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\f(13,3)，,y2＝－\f(16,3)，,z2＝\f(16,3)，))
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，－\f(16,3)，\f(16,3))).
反思感悟 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)
(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定．
(2)直接計(jì)算問(wèn)題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入公式計(jì)算．
(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，通過(guò)解方程(組)，求出其坐標(biāo)．
跟蹤訓(xùn)練1 已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，則a＝________，b＝________，a·b＝________.
答案 (1，eq \r(2)，eq \r(3)) (1,0，eq \r(3)) 4
解析 a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，
∴a＝(1，eq \r(2)，eq \r(3))，b＝(1,0，eq \r(3))，
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
二、空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
知識(shí)梳理
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
注意點(diǎn)：
(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.
例2 (1)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
①設(shè)向量c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1，1))，試判斷2a－b與c是否平行？
②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
解 ①因?yàn)閍＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，
所以2a－b＝(3,2，－2)，
又c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1，1))，
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
②因?yàn)閍＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－eq \f(5,2).
(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3eq \(B1P,\s\up6(→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．
解 如圖所示，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，
因?yàn)?eq \(B1P,\s\up6(—→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝eq \f(3,4)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，
因?yàn)镻Q⊥AE，所以eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝0，
解得b＝eq \f(1,4)，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
因?yàn)閑q \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，
所以(－1，－1,0)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
所以eq \f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.
延伸探究
1．若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ，其他條件不變，結(jié)果如何？
解 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(c，c,0)，
因?yàn)锽1Q⊥EQ，
所以eq \(B1Q,\s\up6(→))·eq \(EQ,\s\up6(→))＝0，
所以(c－1，c－1，－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，c，－\f(1,2)))＝0，
即c(c－1)＋c(c－1)＋eq \f(1,2)＝0,4c2－4c＋1＝0，
解得c＝eq \f(1,2)，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
所以點(diǎn)Q是線段BD的中點(diǎn)，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝－2eq \(DQ,\s\up6(→))，故λ＝－2.
2．本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面Dxy上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置．
解 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
因?yàn)辄c(diǎn)G是A1D的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
因?yàn)辄c(diǎn)H在平面Dxy上，
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，n,0)，
因?yàn)閑q \(GH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)，n，－\f(1,2)))，eq \(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，
且GH∥BD1，
所以eq \f(m－\f(1,2),－1)＝eq \f(n,－1)＝eq \f(－\f(1,2),1)，
解得m＝1，n＝eq \f(1,2).
所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
所以點(diǎn)H為線段AB的中點(diǎn)．
反思感悟 (1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝eq \r(2)，CE＝EF＝1.
(1)求證：AF∥平面BDE；
(2)求證：CF⊥平面BDE.
證明 (1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG.
因?yàn)镋F∥AC，且EF＝1，AG＝eq \f(1,2)AC＝1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形，
所以AF∥EG.
因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C(0,0,0)，A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2)，1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，0,1)．
所以eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝0－1＋1＝0，eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝－1＋0＋1＝0，
所以eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，
即CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，
所以CF⊥平面BDE.
三、夾角和距離的計(jì)算
問(wèn)題 你能利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？
提示 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))
＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2)
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2)，
因此，空間中已知兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).
知識(shí)梳理
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).
注意點(diǎn)：
(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式類似于平面中的兩點(diǎn)之間的距離公式，可以類比記憶．
(2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
例3 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn)．
(1)求BM，BN的長(zhǎng)．
(2)求△BMN的面積．
解 以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則B(0,1,0)，M(1,0,1)，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1)).
(1)∵eq \(BM,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，1))，
∴|eq \(BM,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋?－1?2＋12)＝eq \r(3)，
|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋12)＝eq \f(\r(5),2).
故BM的長(zhǎng)為eq \r(3)，BN的長(zhǎng)為eq \f(\r(5),2).
(2)S△BMN＝eq \f(1,2)·BM·BN·sin∠MBN.
∵cs∠MBN＝cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))〉
＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(BN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(BN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,2),\r(3)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),5)，
∴sin∠MBN＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),5)))2)＝eq \f(\r(10),5)，
故S△BMN＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(5),2)×eq \f(\r(10),5)＝eq \f(\r(6),4).
即△BMN的面積為eq \f(\r(6),4).
反思感悟 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟
(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出向量的坐標(biāo)．
(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．
(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)．
(1)求證：EF⊥B1C；
(2)求FH的長(zhǎng)；
(3)求EF與C1G所成角的余弦值．
(1)證明 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則有Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(B1C,\s\up6(—→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)×(－1)＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，
∴eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(B1C,\s\up6(—→))，即EF⊥B1C.
(2)解 ∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，
∴eq \(FH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2)))，
∴|eq \(FH,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(41),8).
∴FH的長(zhǎng)為eq \f(\r(41),8).
(3)解 ∵C1(0,1,1)，G1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))，
∴eq \(C1G,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，－1)).
∴|eq \(C1G,\s\up6(—→))|＝eq \f(\r(17),4).
又eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(C1G,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)×0＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq \f(3,8)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，
∴|cs 〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|\(EF,\s\up6(→))·\(C1G,\s\up6(—→))|,\(|EF,\s\up6(→))|·|\(C1G,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(51),17).
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為eq \f(\r(51),17).
1．知識(shí)清單：
(1)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算．
(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用．
2．方法歸納：類比、轉(zhuǎn)化．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：
(1)由兩向量共線直接得到兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比相等．
(2)求異面直線所成的角時(shí)易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況．
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為( )
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
答案 B
解析 eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝(9,1,1)．
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，則λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋?1－λ?2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ>0，解得λ＝3.
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
答案 D
解析 依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角為_(kāi)_______．
答案 eq \f(π,3)
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
又∵〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，
∴〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,3).
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
答案 A
解析 b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，則C的坐標(biāo)是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
答案 A
解析 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y，z)，
則eq \(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)，又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－4)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以x＝－eq \f(6,5)，y＝－eq \f(4,5)，z＝－eq \f(8,5)，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))).
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于( )
A．3eq \r(10) B．2eq \r(10) C.eq \r(10) D．5
答案 A
解析 ∵a－b＋2c＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝eq \r(92＋32＋02)＝3eq \r(10).
4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是( )
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝(3,4，－8)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，
eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，
而|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5eq \r(3)，
所以△ABC是直角三角形．
5．空間中點(diǎn)A(3,3,1)關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱點(diǎn)A′與B(－1，1,5)的長(zhǎng)度為( )
A．6 B．2eq \r(6) C．4eq \r(3) D．2eq \r(14)
答案 D
解析 點(diǎn)A(3,3,1)關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(3,3，－1)，
所以A′與B(－1,1,5)的長(zhǎng)度為
A′B＝eq \r(?3＋1?2＋?3－1?2＋?－1－5?2)＝2eq \r(14).
6．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，
所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，
所以〈a，c〉＝120°.
7．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，eq \(AC,\s\up9(︵))的長(zhǎng)為eq \f(2π,3)，的長(zhǎng)為eq \f(π,3)，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．則異面直線B1C與AA1所成的角的大小為_(kāi)_______．
答案 eq \f(π,4)
解析 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OO1所在直線分別為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
則A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，1))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0)).
所以eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(B1C,\s\up6(—→))＝(0，－1，－1)，則eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(—→))＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，
所以cs〈eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(B1C,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(AA1,\s\up6(→))·\(B1C,\s\up6(—→)),|\(AA1,\s\up6(→))|·|\(B1C,\s\up6(—→))|)＝eq \f(－1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
因此，異面直線B1C與AA1所成的角為eq \f(π,4).
8．已知點(diǎn)A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
答案 (－1,3,3)
解析 設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)，
則由eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－2－2x，,y－3＝6－2y，,z－1＝8－2z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，,z＝3，))
即P(－1,3,3)．
9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)的|eq \(AB,\s\up6(→))|.
解 由空間兩點(diǎn)間的距離公式得
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?1－x?2＋[?x＋2?－?5－x?]2＋[?2－x?－?2x－1?]2)
＝eq \r(14x2－32x＋19)＝eq \r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，
當(dāng)x＝eq \f(8,7)時(shí)，|eq \(AB,\s\up6(→))|有最小值為eq \f(\r(35),7).
此時(shí)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(22,7)，\f(6,7))).
10．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)．
(1)求AC與PB所成角的余弦值；
(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．
解 (1)由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，B(eq \r(3)，0,0)，C(eq \r(3)，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，2)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，
從而eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1,0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，0，－2)．
設(shè)AC與PB的夾角為θ，
則cs θ＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|·|\(PB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,2\r(7))＝eq \f(3\r(7),14).
∴AC與PB所成角的余弦值為eq \f(3\r(7),14).
(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，
故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0，z)，
則eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)，1－z))，
由NE⊥平面PAC可得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(NE,\s\up6(→))·\(AP,\s\up6(→))＝0，,\(NE,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)，1－z))·?0，0，2?＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)，1－z))·?\r(3)，1，0?＝0，))
化簡(jiǎn)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z－1＝0，,－\r(3)x＋\f(1,2)＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),6)，,z＝1，))
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)，0，1))時(shí)，NE⊥平面PAC.
11．已知點(diǎn)A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，則A，B兩點(diǎn)的距離的最小值為( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 因?yàn)辄c(diǎn)A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，
所以|AB|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2，
由二次函數(shù)易知，當(dāng)t＝eq \f(1,5)時(shí)，取得最小值為eq \f(9,5) ，
所以|AB|的最小值為eq \f(3\r(5),5) .
12．(多選)從點(diǎn)P(1,2,3)出發(fā)，沿著向量v＝(－4，－1,8)方向取點(diǎn)Q，使|PQ|＝18，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(－1，－2,3) B．(9,4，－13)
C．(－7,0,19) D．(1，－2，－3)
答案 BC
解析 設(shè)Q(x0，y0，z0)，則eq \(PQ,\s\up6(→))＝λv，
即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8)．
由|PQ|＝18，得eq \r(?－4λ?2＋?－λ?2＋?8λ?2)＝18，
所以λ＝±2，
所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1,8)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－7，,y0＝0，,z0＝19，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝9，,y0＝4，,z0＝－13.))
13．已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)_______．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15)))
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))＝3t－eq \f(52,5)，
因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，
所以a·b

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1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

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